2.1.1 复数的概念和复数的表示方式
1.复数的概念
在求解形如x2+1＝0的一元二次方程时，发现这个由实数构成的方程却没有实数解。为了数学上的完备，给这类方程一个解，由此逐步发展出了虚数和复数的概念。首先，定义虚单位i：
于是，i和－i就是方程x2+1＝0的两个解。
在实数和虚单位的基础上，定义复数z为
其中，a为实数，b为实数，i为虚单位；b·i可直接简写为bi。
在复数z的定义式中，称a为复数z的实部（Real Part），b为复数z的虚部（Imaginary Part），表达为
需要强调的是，这里的a和b都是实数。
对复数z＝a+bi：如果a＝0，而且b≠0，则称z为纯虚数或虚数；如果b＝0，则复数z退化为实数。这也表明，任何一个实数都是复数，即实数集R是复数集C的子集或真子集。
在电工学领域，由于虚单位i与电流i容易混淆，改用j来代表虚单位。于是，在本书中，一般的复数z就表达为
由于bj表示的是b·j，而乘法满足交换律，所以复数z也可表达为
并用|z| 表示复数z＝a+bj的模，其定义为
如果复数z1＝a1+b1j，复数z2＝a2+b2j，要使z1＝z2，必须
即复数相等的必要条件是两个复数的实部相等，且两个复数的虚部相等。由于实部和虚部的存在，一般来说，两个复数不能比较大小，除非是实数。
2.复数的表示方式
数学中，定义复平面为一个二维直角坐标系，横坐标轴为实数轴，纵坐标轴为虚数轴。于是复数z＝a+bj与复平面中的坐标（a，b）就成一一对应关系了，可以用复平面中的坐标（a，b）来表示复数z，如图2.1所示。
图2.1 复平面
复数在复平面的点坐标表示法称为复数的代数式，即
复数又可以用有向线段来表达，即向量表达，如图2.1所示由原点O指向z点的向量。该向量的长度为r，与实数轴的夹角为θ。如果以O点为极点，以实数轴为极轴定义一个极坐标系，复数向量就可以用极坐标来表达，称为复数的极坐标式，即
其中，r为复数向量的线段长度，θ为辐角。这里定义θ的范围为θ∈［－π，π），即复数中辐角的主值，记作θ＝arg（z）。显然，复数的模等于复数向量的线段长度，即|z\＝r。
根据图2.1所示的几何关系，易知复数z极坐标式的系数r和θ，与其代数式系数a和b的关系为
反过来，由极坐标式系数到代数式系数有
在复平面内（见图2.1），根据三角函数关系，还可以将复数z表示成三角式的形式：
通过欧拉公式：
还可以将复数的三角式进一步表达成复数的指数式：
复数z的4种表示形式，即代数式、极坐标式、三角式和指数式是等价的，要根据需要灵活的相互转化，即有
其中，复数不同表示形式的系数关系见式（2.10）和式（2.11）。
复数的表示形式，本章用得较多的是复数的代数式和极坐标式。