1.最短的航线

一位女教师在黑板上画了两个点并且对她的一个学生说：“请画出这两个点之间的最短路线。”

她的学生想了一下，之后在两点之间画了一条弯曲的线。

“这个不对吧？谁告诉你这是最短路线了？”女教师似乎有些无奈。

“我爸爸啊，他是开出租的。”

学生的回答看似好笑，然而，图1中虚线距离的确要比实线短，从好望角到澳大利亚南部，虚线确实是最短距离。并且，在图2中，从日本横滨到巴拿马运河的距离同样是弧形线路程最短，比图中直线还短。

看起来这些都很荒谬，然而地图的制作者比我们都清楚，这其中的正确性是毋庸置疑的。

想要弄明白这其中道理，我们就来分析一下地图以及航海图。当然，由于地球是圆的，想要把球面画在平面上并不容易，任何部分都会不可避免地破裂或者重叠，这导致了地图会有无法规避的误差。尽管人们为了画出精确的地图想出了很多办法，然而依然无法使地图达到完美，因为球面和平面的原因，地图是根本不可能十全十美的。

16世纪，荷兰地理学家及数学家墨卡托发明了一种“墨卡托投影法”，航海家使用的地图都是用这种方法绘制的。这种地图称为“墨卡托地图”，它带有方格，简单易懂，经线为平行直线，纬线为垂直经线的平行直线（如图3）。但用这种方法绘制的地图也有缺陷，那就是高纬度地方的轮廓经投影成图后扩大得较厉害，与实际面积会产生一定的差距。

现在来考虑一下如何计算同纬度下两点航线间距。由于是海洋航线，所以路线中没有障碍，只需要知道最短航线即可航行。于是，我们很容易想到，两个点之间最短航线应该是两点之间的纬线，因为纬线在地图上是直线。然而，真正最短的航线并非纬线，还有比这条直线更短的航线。

真正最短的航线是穿过两点的大圆弧线[1]，纬线圈只不过是“小圆”而已。由于圆半径越大两定点间弧线曲率越小，这两点间的大圆弧线曲率定然小于小圆弧线，于是大圆弧线才是答案。

现在如果我们像图4那样在地球仪上拉紧一条通过两点的线，那么这条线就代表着最短航线。但是，这两点之间的“最短航线”如果不与纬线重合，那么航海图上的这条线就不是直线了，只能是曲线。这样，航海图上表示“最短距离”的是曲线这一点就可以理解了。

据说在修建十月铁路（也就是过去所说的尼古拉铁路，从圣彼得堡通往莫斯科）的时候就曾经因为路线的问题而引起争论。这个争论的末尾是由于尼古拉一世的干涉，他最终决定在地图上将两座城连起来，然后修建铁路。不过如果在墨卡托地图上，这条铁路就并非直线了，而是一条曲线。

其实只要计算一下就能证明地图上的航线比直线要短，并且这种计算并不复杂。现在设有两个和圣彼得堡纬度都为60°的码头，并且两个港口分别到地心连线的夹角为60°（当然，现实中到底有没有符合条件的两个码头并不重要）。于是我们参照图5，设：地心O，地球半径R，两个港口A、B，纬线圈中心C。现在以O为圆心过AB作弧，此时AO=BO=R，弧AB和经过AB的纬线靠近但不重合。

由于A、B纬度为60°，于是OA与OC, OB与OC之间都呈30°。根据

直角三角形OCA的一些几何原理，我们可以得知。此时设AC=r，于是便有，弧线AB也为整个位线长度的。由于，可知纬线圈半径是大圆半径的，于是整个纬线圈长度是大圆周长的。我们知道地球周长约40000km，则可得知纬线圈AB段的弧长为。

由于AC=CB且∠CAB=60°，可知△ACB为等边三角形，根据这一点得出：AB=r=R/2。

找到直线AB的中记作D，并作线段OD，则△ODA为直角三角形，则：

DA=BA/2。由于OA=R，

。根据三角函数表可知：

∠AOD=14°28′30″

∠AOB=28°57′

现在已知大圆上1′的弧长为1海里，1海里≈1.85km，于是可知28°57′≈3213km。

比较上边两个数据3333km以及3213km，可知航海图上两点直线为3333km，而航海图上表示大圆圆弧的曲线弧长3213km，后者比前者短120km。

这种结论正确与否只需要图4中的办法检验一下即可得知。并且回到图1，从好望角到澳大利亚南部的直线距离为6020海里，而之间的曲线距离却仅有5450海里，比直线距离短了570海里。航海图上伦敦到上海之间的直线距离经过里海，然而地图上两城市间正确的最短航线却需要经过圣彼得堡之后还要往北。看似很难理解，但是这些方面的研究非常便于节省燃料以及时间。

可能由于在帆船时代，时间还没有被看作如金钱一般重要，所以那时候的人们不太去关注是否会耗费多一些的时间。然而现今社会轮船盛行，航线长就得多烧煤，多烧煤就要多花钱，于是不仅仅为了节约时间，同时也为了节约燃料，现在的轮船肯定是要按照最短航线航行的。然而，现在使用的地图中大圆弧线都是直线，名叫“心射投影”，墨卡托地图已经不再使用了。

那么既然如此，为何之前的航海者还去使用那些明显不正确的地图，走着不正确的路线呢？难道他们并不知道航海图的特点吗？非也。虽说墨卡托地图有很大缺陷，然而对航海者来说还是非常有用的。在低纬度地区，一小块区域内歪曲程度根本无法察觉或者说根本没有歪曲，但高纬度地区就不行了，高纬度地区在墨卡托地图上被歪曲很厉害，地面轮廓要比实际大得多，如果一个不明白其中道理的人来看这种地图，会觉得格陵兰岛和非洲大陆大小相仿，并且会觉得阿拉斯加比澳大利亚还要大。然而，事实上格陵兰岛比非洲小得多，仅为后者的左右，而阿拉斯加也不过澳大利亚的一半而已。

当然，航海老手们并不会被这种地图迷惑，他们清楚地知道其中的道理并且容忍这些扭曲。不仅如此，在小范围的地方，扭曲也并不厉害，和实际情况还是比较相似的。

因此，墨卡托地图还是有利于解决实际的航海问题的，是唯一利用直线指示船只定向航行的地图。“定向航行”意为船只的航线和经线夹角保持定值，使船只保持“方向角”不变。这种名为“斜航线[2]”的路径只有在经线平行的地图上才会显示直线。

当然，由于在这种地图上，经线都是平行，那么纬线自然也是平行，并且垂直于经线。经纬垂直方格密布，这也是航海图的特点。

经过上面的描述，我们终于能够明白为何航海者们会喜欢这样的地图：他们在航行前只需将自己所在位置和目标点连线，然后测量连线和经线的夹角，之后在航行中就可以保持这个方向一直前进了。虽说这种“斜航线”并非最经济省时的线路，但是使用非常方便。

现在假设要从好望角到达澳大利亚南部，按照“斜航线”需要沿着南87°30′前进。但是如果要走最短的航线，刚开始需要向南42°30′，但是到达时却是向北53°30′，这样意味着在航行中需要不断改变方向，并且会不可避免地撞到南极的冰层。

值得一提的是，当且仅当船只在赤道或者经线上航行时这两种航线重合，其他情况则必然不重合。