1.3　水平面代替水准面的限度

在地形测量中,当测区的面积不大时,可以用水平面代替水准面作为测量的基准面,那么,究竟在多大的范围可以用水平面来代替水准面呢?

1.3.1　用水平面代替水准面对距离的影响

如图1.6所示,设地面上有A、B两点,沿着铅垂线投影,A点沿着铅垂线投影到曲面上为a点,又设球面P与平面P'相切于a点,B点沿着铅垂线投影到曲面P上为b点,投影到平面P'上为b'点,地面线AB投影到平面的长度为ab',投影到曲面的长度为ab,设ab=s,ab'=s',球的半径为R。

用投影到平面的长度s'代替投影到曲面的长度s,其所产生的误差为

根据三角函数的级数公式展开,并略去高次项,得

将β=代入上式,得

取R=6371km,并以不同的距离s代入式(1.2),可得到距离误差Δs和相对误差Δs/s,见表1.1。

由表1.1可看出,当距离为10km时,以平面代替曲面所产生的距离相对误差为1︰120万,这样微小的误差,就算是最精密的测距也是容许的。因此,在半径为10km的范围内,用水平面代替水准面对距离的影响极小,可以忽略不计。

1.3.2　用水平面代替水准面对高程的影响

如图1.6所示,bb'即为用水平面代替水准面产生的高程误差。设bb'=Δh,则

由于s≈s',同时Δh与R比较,Δh极小,可以忽略不计,所以,上式可转换为

以不同的距离代入上式,可得到高程误差,见表1.2。

由表1.2可知,用水平面代替水准面对高程的影响极大,所以,在高程测量中即使距离很短的情况下,也必须考虑地球曲率对高程的影响。