3.6 水力学基本方程

3.6.1 恒定总流连续性方程

恒定总流连续方程是遵循质量守恒定律的一种特殊形式，下面以图3-12所示的渠道水流为例，来推导恒定流的连续性方程式。

在渠道水流中，设边壁是不漏水的。在渠道上任意选取两过水断面1-1和断面2-2，它们的面积相应为A₁和A₂，平均流速相应为v₁和v₂，由上面可知流量、过水断面面积和平均流速的关系为Q₁=A₁v₁，Q₂=A₂v₂，则在同一时间内，经过水断面1-1流入的流量为Q₁，经过水断面2-2流出的流量为Q₂。因为水是不可压缩的，也就是说，两过水断面间蓄水体积不会改变，而且认为水在流动过程中不会出现空隙。这样就可以断定在同一时间内经过水断面1-1流入的流量，必定等于从过水断面2-2流出的流量。用公式表示即为：

式中 A₁，A₂——任意两个总流过水断面；

v₁，v₂——总流过水断面A₁，A₂的断面平均流速。

该公式表明了流量—面积—流速的关系，即在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面所通过的流量相等；当某一断面面积增大时，流速减小，反之，流速则增大。

3.6.2 恒定总流能量方程

恒定总流能量方程是能量守恒规律在水流运动中的具体表现，也称为伯努利方程。毕托管测流和文丘里流量计等量测设备就是利用能量方程原理进行测量。

通常流动液体具有的能量包括有三种形式。

1.位能

如果流动的单位重量液体所在的位置相对于基准面的位置高度为Z，那么液体相对于这一基准面就具有能量，叫位置势能，其大小由液体所处的位置高度决定，即：

又叫位置水头。

2.压能

这是流动液体中动水压强具有的做功本领，又叫压能。单位重量的液体所具有的压能大小计算如下：

水力学中，位能与压能统称为势能（），又称为测压管水头。

3.动能

液体流动所具有的能量。若液体流动的平均速度为v，则单位重量液体具有的动能大小计算如下：

水力学上又把动能叫流速水头，其中α叫动能修正系数，一般取用α=1.0～1.10。

实际流动的液体中任意点所具有的总能量可表示为：

式中 位置水头z——水体中某一点处的几何高度，代表单位重量水体的位能；

压力水头——该点的测压高度，代表单位重量水体的压能；

速度水头——单位重量的水体所具有的动能，α为动能修正系数。

如图3-13，对于实际液体恒定流中任意两个过水断面1-1和2-2，取水平面0-0为基准面，分析如下。

断面1-1上水流的总能量为：

断面2-2上：

水流从断面1-1到断面2-2的过程中，由于水流存在黏滞性，必然消耗一部分能量，用于克服摩擦阻力，这部分能量将转化为热能消失，称能量损失，也叫水头损失，用符号h_W表示。

因水流为恒定流，据能量守恒定律，单位重量的液体经断面1-1时的总能量，应等于流经断面2-2时的总能量，加上水流在断面的能量损失，即：

式中 z₁、z₂——表示断面1-1和断面2-2处的几何高度；

、——单位重量水体的压能；

、——表示单位重量的水体所具有的动能，α₁，α₂为动能修正系数。

在明渠恒定流中，将渠道进口处渠底高程作为参考基准面，式（3-24）z一项去掉，因而，当流速增加时，会有更多的能量转化为流速水头，从而使得水深变浅。同样，当流速变慢时，水深会增加。

在应用能量方程式时，必须注意方程式是在一定条件下推导出来的，其适用条件是：

（1）水流是恒定流。

（2）所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流条件。这样，计算过水断面上的势能值时，可以选取过水断面上任意点来计算。

（3）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，期间没有流量加入或分出。

为了在应用能量方程式时，计算简便而不致发生错误，应注意以下几点：

（1）基准面的选择是可以任意的，但在计算不同断面的位置高度z值时，必须选取同一基准面。

（2）能量方程中项，可以用相对压强，也可以用绝对压强，但对不同断面必须采用同一标准。

（3）在计算过水断面的势能值时，可以选取过水断面上任意点来计算。具体选择哪一点，以计算方便为宜。对于管道一般可选择管轴心点来计算较为方便；对于有自由面的断面，一般选在自由面上，因为该点相对压强为零。

（4）在最后列能量方程式时，要表明基准面，渐变流断面及其势能计算点。

3.6.3 恒定总流动量方程

由质点动量定律推导流动恒定的水流的动量方程：

式中 ∑F——作用于总流流段上的所有外力的矢量和；

ρ——水的密度；

Q——水流流量；

β——动量修正系数，为计算简便，常采用β=1.0；

v₁，v₂——通过上游断面和下游断面的断面平均流速。

张华等人（2012年）利用动量方程研制的动量式流量计是对恒定总流动量方程最直接的应用，现简要介绍其基本原理。

根据式（3-25）得到水流作用在拦水栅上的动水压力：

因此有：

式中 Q——渠道内流量；

v₁——渠道内水流速度；

v₂——撞击到拦水栅后的水流速度；

A₁——渠道过水断面面积；

A₀——淹没水中的栅条面积；

A——淹没水中的拦水栅总面积；

α₁，α₂——系数，取值在试验过程中率定；

h——水深；

B——拦水栅宽度；

B₁——每根栅条的宽度。

由于迎水面，背水面都有大小不同的静水压力，设迎水面静水压力为F_Y，背水面静水压力为F_B，计算公式为：

式中 ε——率定系数，取值根据不同栏栅介质、数量、宽度以及渠道断面而不同。

栅条上下端支撑力均为F₁，下端支撑力均为F₂。根据力和力矩平衡原理，有：

式中 H——拦水栅高度。

将式（3-27）～式（3-29）代入式（3-30）和式（3-31）中得到：

整理后得到：

只要利用压力传感器测F₁、F₂就可以得出h，进而求出Q。