2.3 土压力与围岩压力计算

在地下空间结构所承受的众多荷载中，地层压力（包括土压力和围岩压力）对大多数地下工程而言是至关重要的。一是因为地层压力往往成为地下空间结构设计计算的控制因素；二是因为地层压力计算的复杂性和不确定性，使得工程师对其不敢掉以轻心。作用于地下空间结构的地层压力包括竖向压力和水平压力。

2.3.1 土压力计算理论

土压力通常是指挡土墙后的填土因自重或外荷载作用对墙背产生的侧压力；它是土与挡土结构之间相互作用的结果，它与结构的位移有着密切关系。土压力的计算是比较复杂的问题，以挡土墙为例，作用在挡土墙墙背上的土压力随挡土墙可能的位移方向分为静止土压力、主动土压力和被动土压力3种；土压力的大小还与墙后填土的性质、墙背位移或倾斜方向等因素有关，其中主动土压力值最小，被动土压力值最大，而静止土压力值介于两者之间，它们与挡土墙的位移关系如图2-3-1所示。

图2-3-1 墙身位移与土压力关系

如果墙体的刚度很大，墙身不产生任何移动或转动，土体处于弹性平衡状态时，墙后土对墙背所产生的土压力称为静止土压力，其值可以根据弹性变形体无侧向变形理论或近似方法求得，土体内相应的应力状态称为弹性平衡状态。例如，刚性墙身受墙后土的作用绕墙背底部向外转动（图2-3-2（a））或平行移动，作用在墙背上的土压力从静止土压力值逐渐减小，直到土体内出现滑动面，滑动面以上的土体（滑动楔体）将沿着这一滑动面向下向前滑动。在这个滑动楔体即将发生滑动的一瞬间，滑动面以上的土体达到极限平衡状态时，作用在墙背上的土压力减小到最小值，称为主动土压力，而土体内相应的应力状态称为主动极限平衡状态。相反，如墙身受外力作用（图2-3-2（b））而挤压墙后的填土，则土压力从静止土压力逐渐增大，直到土内出现滑动面，滑动楔体将沿着某一滑动面向上向后推出，发生破坏。在这一瞬间作用在墙背上的土压力增大到最大值，称为被动土压力，而土体内相应的应力状态称为被动极限平衡状态。所以，主动土压力和被动土压力是墙后填土处于两种不同极限平衡状态时，作用在墙背上的两种土压力。

图2-3-2 土体极限平衡状态

2.3.1.1 经典土压力理论

软土地区浅埋的地下工程，作用于结构上的竖向土压力的计算是比较容易的，可采用“土柱理论”计算。因为软土的内摩擦角接近于0°，作用在土柱体侧壁的摩擦力可忽略不计，土柱底部的竖向土压力即为结构顶盖上整个土柱的全部重量。

侧向土压力经典理论主要是库伦（Coulomb）理论和朗肯（Rankine）理论，这些理论在地下工程的设计中一直沿用至今。另外，计算静止土压力一般采用弹性理论，也可以称它为经典理论。尽管上述经典土压力理论存在许多不足之处，但是在工程界仍然得到广泛使用。

1.静止土压力

当挡土结构在土压力作用下，结构不发生变形和任何位移（移动或转动）时，背后填土处于弹性平衡状态，则作用于结构上的侧向土压力称为静止土压力，用P0表示。

图2-3-3 静止土压力计算简图

静止土压力可根据半无限弹性体的应力状态求解。在图2-3-3中，填土表面以下任意深度z处M点取一单元体（在M点附近一微小正方体），作用于单元体上的力如图2-3-3所示，其中土的竖向自重应力为σc，其值等于土柱的重量，即

式中 γ——土的重度，kN/m3；

z——由地表面算起至M点的深度，m。

另一个是侧向压应力，填土受到挡土墙的阻挡而不能侧向移动，这时土体对墙体的作用力就是静止土压力。半无限弹性体在无侧移的条件下，其侧向压力与竖直方向压力之间的关系为

式中 k0——静止土压力系数，针对不同工程土体情况见表2-3-1；

μ——土的泊松比，其值通常由试验来确定。

静止土压力系数k0与土的种类有关，而同一种土的k0还与其孔隙率、含水量、加压条件、压缩程度有关。工程中通常不是用土的泊松比来确定土压力系数，而是根据经验直接给出它的值。也可根据经验公式（2-3-4）计算确定，即

式中 φ′——土的有效内摩擦角，（°）；

α——经验系数，砂土、粉土取1.0；黏性土、淤泥质土取0.95。

墙后填土表面为水平时，静止土压力按三角形分布，静止土压力由式（2-3-5）计算可得，合力作用点位于距墙踵h/3处，即

式中 h——挡土墙的高度，m。

上述公式适用于正常固结土。如果属超固结土时，侧向静止土压力会增加，静止土压力可按以下半经验公式估算，即

式中 OCR——超固结比；

p c——土的前期固结压力，kPa；

p——土的自重压力，kPa。

对超固结比OCR<5的情况，Worth（1975）建议采用式（2-3-8）计算k0值，即

式中 Knc——正常固结土静止土压力系数；

OCR——超固结比值；

μ′——土体有效应力泊松比。

2.库伦土压力理论

（1）库伦理论的基本假定。

库伦理论是由法国科学家库伦（C.A.Coulomb）于1773年提出的，它是以整个滑动土体上力系的平衡条件来求解主动、被动土压力计算的理论公式；主要是用于挡土墙的计算，其计算模型如图2-3-4所示。

图2-3-4 库伦土压力计算简图

库伦土压力理论是根据墙后土体处于极限平衡状态并形成一滑动楔体时，从楔体的静力平衡条件得出的土压力计算理论。其基本假定如下：

1）挡土墙墙后土体为均质各向同性的无黏性土（黏聚力c=0）。

2）挡土墙是刚性的且长度很长，属于平面应变问题。

3）挡土墙后土体产生主动土压力或被动土压力时，土体形成滑动楔体，滑裂面为通过墙踵的平面。

4）滑动土楔体视为刚体。

5）墙顶处土体表面可以是水平面，也可以为倾斜面，倾斜面与水平面的夹角为β角。

6）在滑裂面和墙背面上的切向力分别满足极限平衡条件，即

式中 T，T′——土体滑裂面上和墙背面上的切向摩阻力，kN/m；

N，N′——土体滑裂面上和墙背面上的法向土压力，kN/m；

φ——土的内摩擦角，（°）；

δ——土与墙背的外摩擦角，°，查表2-3-2确定。

（2）库伦理论的土压力计算方式。

当土体滑动楔体处于极限平衡状态，作用在滑动土楔体上的力有：土楔体的自重W、破坏面BC上的反力F和墙背对土楔体的反力Pa或Pp（与其大小相等、方向相反的作用力就是墙背上的土压力）；土楔体在以上三力作用下处于静力平衡状态，因此构成一闭合的力矢三角形，根据正弦定理，不难得到作用于挡土墙上的主动土压力Pa和被动土压力Pp的计算式为

式中 W——滑楔自重，kN/m。

其中是θ的函数。所以式 （2-3-11）和式 （2-3-12）中的Pa、Pp都是θ的函数。随着θ的变化，其主动土压力必然产生在使Pa为最大的滑楔面上；而被动土压力必然产生在使Pp为最小的滑裂面上。由此，将Pa、Pp分别对θ求导，求出最危险的滑裂面，即可得到库伦主动与被动土压力，即

式中 γ——土体的重度，kN/m3；

h——挡土墙的高度，m；

α——墙背的倾斜角，（°），俯斜时取正号，仰斜时取负号；

β——墙后填土面的倾角，°；

K a——库伦主动土压力系数；

K p——库伦被动土压力系数。

库伦主动土压力系数Ka和被动土压力系数Kp均为几何参数和土层物性参数α、β、φ和δ的函数。

库伦土压力的方向均与墙背法线成δ角。但必须注意主动与被动土压力与法线所成的δ角方向相反，如图2-3-4所示。作用点在没有地面超载的情况下，均为离墙踵h/3处。

当墙顶的土体表面作用有分布荷载q，如图2-3-5所示，则滑楔自重部分应增加地面超载项，即

图2-3-5 具有地表分布荷载的情况

引入系数Kq，使式（2-3-18）简化后，写成与式（2-3-13）相似的形式：

同样，根据静力平衡条件，可导出考虑了地面超载后的主动和被动土压力，即

其土压力的方向仍与墙背法线成δ角。由于土压力呈梯形分布，因此作用点位于梯形的形心，离墙踵高为

式中 pa，pb——墙顶与墙踵处的土压力强度值。

（3）黏性土中等效内摩擦角。库伦土压力理论假设墙后填土为理想的散体材料，也就是填土只有内摩擦角φ而没有黏聚力c，因此，从理论上来说只适用于无黏性土。而实际工程中常常不得不采用黏性土作为填土材料，为了考虑土的黏聚力c对土压力数值的影响，在应用库伦土压力计算公式时，应该考虑黏聚力c的有利影响。在工程实践中可采用换算的等效内摩擦角φD来进行计算，如图2-3-6所示。采用等效内摩擦角的方法，实际上是通过提高内摩擦角值来考虑黏聚力的有利影响。

等效内摩擦角的换算方法有多种，有人根据经验提出，当黏聚力每增加10kPa时，内摩擦角可提高3°～7°，平均提高5°。另外，也可根据土的抗剪强度相等的原则进行换算，即

此外，又可借助朗肯土压力理论进行换算，按朗肯理论同时考虑c、φ值得到的土压力值要和已换算成等效内摩擦角φD后得到的土压力值相等，推算得到等效内摩擦角φD，即

由式（2-3-25）可得等效内摩擦角为

上述3种换算方法得到的等效内摩擦角互不相同，且每种换算方法都有其缺点。从图2-3-6中也可看出，按换算后的等效内摩擦角计算，其强度值只有一点与原曲线相重合。而在该点之前，强度偏低；该点之后，强度偏高，从而造成低墙保守、高墙危险的结果。因此，对于黏性土的库伦土压力计算可以不用等效内摩擦角的方法，而改用下述的方法直接计算。

（4）黏性土库伦土压力公式。

我国《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2011）的方法是库伦理论的一种改进，它考虑了土的黏聚力作用，可适用于填土表面为一倾斜平面，其上作用有均布荷载q的一般情况。

图2-3-6 等效内摩擦角

图2-3-7 考虑了黏聚力的计算简图

如图2-3-7所示，挡土墙在主动土压力作用下，离开填土向前位移达一定数值时，墙后填土将产生滑裂面BC而破坏，破坏瞬间，滑动楔体处于极限平衡状态。这时作用在滑动楔体ABC上的力有：楔体自重G及填土表面上均布超载q的合力F，其方向竖直向下；滑裂面BC上的反力R，其作用方向与BC平面法线顺时针成φ角，在滑裂面BC上还有黏聚力cLBC，其方向与楔体下滑方向相反，墙背AB对楔体的反力Pa，作用方向与墙法线逆时针成δ角。仿库伦土压力公式推导过程，可求得地基基础规范推荐的主动土压力计算公式，即

式中 Pa——主动土压力的合力；

K a——黏性土、粉土主动土压力系数，按式（2-3-28）计算；

α——墙背与水平面的夹角；

β——填土表面与水平面之间的夹角；

δ——墙背与填土之间的摩擦角；

φ——土的内摩擦角；

c——土的黏聚力；

γ——土的重度；

h——挡土墙高度；

q——填土表面均布超载（以单位水平投影面上荷载强度计）；

Kq——考虑填土表面均布超载影响的系数，即

按式（2-3-27）计算主动土压力时，破裂面与水平面的倾角为

3.朗肯土压力理论

朗肯土压力理论是由英国科学家朗肯（Rankine）于1857年提出的。它是根据半空间的应力状态和土单元体（土中一点）的极限平衡条件而得出的土压力古典理论之一。朗肯理论的基本假定如下：

（1）挡土墙背竖直，墙面为光滑，不计墙面和土层之间的摩擦力。

（2）挡土墙后填土的表面为水平面，土体向下和沿水平方向都能伸展到无穷远，即为半无限空间。

（3）挡土墙后填土处于极限平衡状态。

在满足假定条件的基础上，墙背与土的接触面上满足剪应力为零的边界应力条件以及产生主动或被动朗肯状态的边界变形条件，由此推导出主动、被动土压力计算的理论公式。在弹性均质的半空间体中，离开地表面深度为z处的任一点的竖向应力和水平应力分别为

如果在弹性均质空间体中插入一竖直且光滑的墙面，由于它既无摩擦又无位移，则不会影响土中原来的应力状态，如图2-3-8（d）中的圆Ⅱ所示。

图2-3-8 朗肯极限平衡状态

当墙面向左移动（图2-3-8（a）），则将使右半边土体处于伸展状态，作用于墙背的土压力逐渐减小，摩尔应力圆逐渐扩大而达到极限平衡，土体进入朗肯主动土压力状态。这时图2-3-8（d）中摩尔圆Ⅰ与土的抗剪强度包线相切。这时作用于墙背的侧向土压力σx小于初始的静止土压力，更小于竖向土压力σz，而成为最小主应力pa。竖向土压力σz为最大主应力，其值仍可由式（2-3-33）计算得到。墙后的土体产生剪切破坏，其剪切破坏面与水平面的夹角为45°+φ/2。

同样，当墙面向右移动（图2-3-8（c）），则将使右半边土体处于挤压状态，作用于墙背的土压力增加，开始进入朗肯被动土压力状态。对应于图2-3-8（d）中摩尔圆Ⅲ与土的抗剪强度包线相切，这时作用于墙背的侧向土压力σx超过竖向土压力σz，而成为最大主应力pp。而竖向土压力σz则变成最小主应力。墙后土体的剪切破坏面与水平面的夹角为45°-φ/2。

根据土体的极限平衡条件，并参照摩尔圆的相互关系，不难得到

将式（2-3-36）改写成最大主应力和最小主应力的关系式，即

式中 τ——土体某一斜面上的剪应力；

τ f——土体在正应力σ条件下，破坏时的剪应力；

σ 1，σ3——最大、最小主应力；

c，φ——土的抗剪强度参数，其中c为土体黏聚力，φ为内摩擦角。

在朗肯主动土压力状态下，最大主应力为竖向土压力σ1=γz，最小主应力即为主动土压力；将σ3=pa代入式（2-3-38）可得

同理，在朗肯被动土压力状态时，最大主应力为被动土压力σ1=pp，而最小主应力为竖向压力σ3=σz=γz，代入式（2-3-37）可得

引入主动土压力系数Ka和被动土压力系数Kp，并令

将式（2-3-40）、式（2-3-41）分别代入式（2-3-39a）和式（2-3-39b）可得

由式（2-3-39a）可知，黏性土的主动土压力强度包括两部分，前一项为土自重引起的使侧向土压力减小的“负”侧压力。

在主动状态，当时，则Pa≤0，为拉力。若不考虑墙背与土体之间有拉应力存在的可能，则可求得墙背上总的主动土压力为

式中 h——墙背的高度。

如挡土墙后为成层土层，仍可按式（2-3-42）计算主动土压力。但应注意在土层分界面上，由于两层土的抗剪强度指标不同，使土压力的分布有突变（图2-3-9）。其计算方法如下：

a点：

b点上 （在第一层土中）：

b点下 （在第二层土中）：

其中：

其余符号意义如图2-3-9所示。

图2-3-9 成层土的主动土压力计算

图2-3-10 填土上有超载时主动土压力计算

如图2-3-10所示，挡墙填土表面作用着连续均布荷载q时，计算时可以将在深度z处竖向应力σz增加一个q值，将式（2-3-42）、式（2-3-43）中γz代之以（γz+q），就能得到填土表面超载时主动土压力计算公式（黏性土），即

式中 q——地面超载。

当无固定超载时，考虑到随时发生的施工堆载、车辆行驶动载（如基坑等）等因素，一般可取均布荷载q=10～20kPa。

土压力水平作用点离墙踵的高度为

在被动状态，土压力呈梯形分布，其总的被动土压力为

土压力的水平作用点为梯形形心，离墙踵高为

在朗肯土压力计算理论中，假定墙背是垂直光滑的，填土表面为水平。因此，与实际情况有一定的出入。由于墙背摩擦角φ=0°，则将使计算土压力Pa偏大，而Pp偏小。

2.3.1.2 特殊情况下的土压力

1.分层土的土压力计算

在工程实践中，土体常常是由不同的土层组成，而单一均质的土层只是特殊的情况。前面所述的各种土压力计算理论都是对单一均质土体的情况。为了解决分层土的土压力计算，通常是采用凑合的方法，按某一指标转换成相应的当量土层，具体计算还分为两种情况。

（1）按第i层土的物理力学指标计算第i层的土压力。

把第i层以上的土层按重度γ转换成相应的当量土层高，即

则1～i层土的总当量高度为

再按ci、φi、γi和Hi来计算土压力，把求得的土压力取Hi-1～Hi这段的分布土压力，即为第i层土的土压力，按此求得的土压力可反映出各土层的分布规律。

（2）按第1～i层土的加权平均指标进行计算。

因为土压力的值不仅与各土层的厚度有关，而且与第1～i层土的c、φ值有关，由于滑裂面要穿过上述各土层亦均有影响，因此提出在计算第i层土的土压力时，取1～i层土c、φ的加权平均值。

与穿过各土层的滑裂面长度有关，所以按土层厚度的加权平均值计算，即

而φi是摩擦角，其产生的效果与面上有正压力有直接关系，也可认为与重力γz有关，因此有

即

因为h′0=0，所以有

由此求得第1～i层土的内摩擦角的加权平均值为

再按γi、和Hi来计算第i层土的土压力，这样使土压力计算能反映上面各土层的综合平均效果。但这结果掩盖了某土层软硬所产生的土压力是大还是小的实质差别，因此还必须将求得的某层土的土压力值再乘以计算所用的加权平均的强度极限值除以该土层的强度极限值τf1。

其中的σ值可采用第i层土中的点的自重应力，当有地面超载时，还应考虑地面超载引起的影响。

2.不同地面超载作用下的土压力计算与图式

（1）地面超载作用下产生的侧压力。

对于均匀和局部均匀超载作用下，在围护结构上的侧压力可采用图2-3-11所示的图示计算。

图2-3-11 均匀和局部均匀超载作用下的主动土压力

图2-3-12 集中荷载作用下的主动土压力

（2）集中荷载作用下产生的侧压力。

对于集中荷载在围护结构上产生的侧压力，可按图2-3-12所示计算。

（3）弹性理论确定超载侧压力。

1）集中荷载作用下，采用弹性理论时侧压力按图2-3-13所示计算。

2）线荷载作用下，采用弹性理论时侧压力按图2-3-14所示计算。

3）条形荷载下，采用弹性理论时侧压力按图2-3-15所示计算。

（4）各种地面荷载作用下的黏性土压力。

图2-3-13 坑壁顶作用集中荷载产生的侧压力（v=0.5）

图2-3-14 线荷载作用下产生的侧压力图

图2-3-15 条形荷载作用下产生的侧压力图

当土体抗剪强度参数为c、φ，墙背与土体间抗剪强度参数为c′、φ′时，主动土压力Pa和主动土压力倾斜角δ有下列关系，即

式中 Ka——主动土压力系数。

当c′=0时，则η′=0，主动土压力Pa和主动土压力倾斜角δ有下列关系，即

（5）地表面不规则情况下侧向土压力。

当墙体外侧地表面不规则时，围护结构上的土压力计算如图2-3-16所示。

围护结构上的主动土压力为

被动土压力表达式同式（2-3-60）。

式中 β——地表斜坡面与水平面的夹角；

K a——主动土压力系数；

h′——地表水平面与地表斜坡和支护结构相交点间的距离。对于地表为复杂几何图

形情况时，可采用楔体试算法，由数值分析与CОКОДОВСКИИ图解求得。

图2-3-16 地面不规则情况下的主动土压力

2.3.1.3 考虑地下水时水土压力计算

1.水土压力分算和水土压力合算

作用在挡墙结构上的荷载，除了土压力以外，还有地下水位以下的水压力。计算水压力时，水的重度一般取γw=10kN/m3。水压力与地下水补给数量、季节变化、施工开挖期间挡墙的水密度、入土深度、排水处理方法等因素有关。

计算地下水位以下的水、土压力，一般采用“水土分算”（即水、土压力分别计算，再相加）和“水土合算”两种方法。对砂性土和砂质粉土，可按水土分算原则进行，即分别计算土压力和水压力，然后两者相加。对黏性土砂质和黏质粉土按水土合算进行。

（1）水土压力分算。

水土分算是采用浮重度计算土压力，按静水压力计算水压力，然后两者相加即为总的侧压力（图2-3-17）。

图2-3-17 土压力和水压力的计算

利用有效应力原理计算土压力，水、土压力分开计算，即为

式中 γ′——土的浮重度；

——按土的有效应力强度指标计算的主动土压力系数，；

——按土的有效应力强度指标计算的被动土压力系数，；

φ′——有效内摩擦角；

c′——有效黏聚力；

γ w——水的重度。

上述方法概念比较明确，但在实际使用中还存在一些困难，有时较难以获得有效强度指标，因此在许多情况下采用总应力法计算土压力，再加上水压力，即总应力法，即

式中 Ka——按土的总应力强度指标计算的主动土压力系数，）；

K p——按土的总应力强度指标计算的被动土压力系数，）；

φ——按固结不排水（固结快剪）或者不固结不排水（快剪）确定的内摩擦角；

c——按固结不排水或不固结不排水法确定的黏聚力。

其余符号意义同前。

（2）水土压力合算法。

水土压力合算法是采用土的饱和重度计算总的水、土压力，这是国内目前较流行的方法，特别对黏性土积累了一定的经验。

式中 γsat——土的饱和重度，在地下水位以下可近似采用天然重度；

K a——主动土压力系数，）；

K p——被动土压力系数，）；

φ——按总应力法确定的固结不排水剪或不固结不排水剪确定土的内摩擦角；

c——按总应力法确定的固结不排水剪或不固结不排水剪确定土的黏聚力。

2.稳态渗流时水压力的计算

（1）按流网法计算渗流进的水压力。

基坑施工时，围护墙体内降水形成墙内外水头差，地下水会从坑外流向坑内，若为稳态渗流，那么水土分算时作用在围护墙上的水压力可用流网法确定。

图2-3-18所示为按流网计算作用在围护结构上的水压力例子，假定墙体插入深度为h，水头差为h0，设h=h0，按水力学方法绘出流网图（图2-3-18（b）），根据流网即可计算出作用在墙体上的水压力。根据水力学有

式中 H——某一点的总水头，可从流网图中读出；

h p——某一点的压力水头；

h e——某一点的位置水头，he=z-h′。

图2-3-18 墙体水压力分布

①—墙前压力水头线；②—墙后压力水头线；③—静水压力水头线

作用在墙体上的水压力p用压力水头表示为

式中 x——某一点的总水头差h0剩余百分数（或比值），从流网图读出；

z——某一点的高程；

h′——基坑底的高程；

h 0——总水头差。

按流网计算的墙前、后水压力分布如图2-3-18（a）所示。作用于墙体的总水压力如图中阴影线所表示的部分。

（2）按直接比例法确定渗流时的水压力。

计算渗流时水压力还可近似采用直线比例法，即假定渗流中水头损失是沿挡墙渗流轮廓线均匀分配的，其计算公式为

式中 Hi——挡墙轮廓线上某点i的渗流总水头；

L——经折算后挡墙轮廓的渗流总长度；

Si——自i点沿挡墙轮廓至下游端点的折算长度；

h 0——上下游水头差。

（3）水压力的计算简图。

一般可按图2-3-19所示的水压力分布，确定地下水位以下作用在支护结构上的不平衡水压力。图2-3-19（a）所示为三角形分布，适用于地下水有渗流的情况；若无渗流时，可按梯形分布考虑，如图2-3-19（b）所示。

图2-3-19 作用在支护结构上的不平衡水压力分布

3.土的抗剪强度试验方法与指标问题

土体的抗剪强度可按有效应力法确定，也可按总应力法确定，两者各有其特点。

有效应力法确定土体的抗剪强度的公式为

式中 τf——土体的抗剪强度；

c′——土的有效黏聚力；

φ′——土的有效内摩擦角；

σ——法向总应力；

u——孔隙水压力。

有效应力是认为土体受力作用时，一部分是由孔隙中流体承受，称为孔隙水应力；一部分由骨架承受，称为有效应力。经过许多学者多年的研究，无论对于砂性土还是黏性土，有效应力原理已得到土力学界的普遍承认。土体的有效抗剪强度指标，即有效黏聚力c′和有效内摩擦角φ′，其试验结果比较稳定，受试验条件的影响比较小。

用总应力法确定土体抗剪强度的计算式为

式中 τf——土体抗剪强度；

σ——法向总应力；

c——按总应力法确定的土的黏聚力；

φ——按总应力法确定的土的内摩擦角。

总应力法不涉及孔隙水压力，只是模拟土体实际固结状态测定强度。

常用的确定抗剪强度试验方法可分为原位测试和室内试验两大类，原位测试有十字板剪切试验和静力触探等方法，其中十字板剪切试验可直接测得土体天然状态的抗剪强度。静力触探法可根据经验公式换算成土的抗剪强度。

室内试验按使用仪器可分为直剪仪和三轴仪两类，按试验条件也可分为固结或不固结、排水或不排水等。

（1）直剪仪慢剪和三轴仪固结排水剪。在试验过程中充分排水，即没有孔隙应力。两种试验的排水条件相同，施加的是有效应力，得到的强度指标均为有效强度指标。

（2）直剪仪快剪和三轴仪不固结不排水剪。它们二者之间的主要区别在于对排水条件控制的不同。三轴仪可以完全控制土样排水条件，能做到名副其实的不排水。直剪仪由于仪器的局限性，很难做到真正的不排水，因此在直剪仪上测定土的抗剪强度指标时，当土的渗透性较大时，直剪仪快剪只相当于三轴排水，而只有当土的渗透系数较小时，直剪仪快剪试验结果才接近于三轴不排水试验。

（3）直剪仪固结快剪和三轴固结不排水剪。这两种试验方法在正应力下都使土体达到充分固结，而在剪应力作用下用三轴仪试验可做到不排水，用直剪仪试验则排水条件和直剪仪快剪相似，即土体渗透性大时，相当于排水，渗透性很小时接近于不排水。

虽然直剪试验存在一些明显的缺点，受力条件比较复杂，排水条件不能控制等，但由于仪器和操作都比较简单，又有大量实践经验，因此，比较广泛采用直剪仪做快剪及固结快剪试验取得土的抗剪强度指标。一般推荐固结快剪指标，因为固结快剪是在垂直压力下固结后再进行剪切，使试验成果反映正常固结土的天然强度，充分固结的条件也使试样受扰动以及土样中夹薄砂层的影响都降到最低限度，从而使试验指标比较稳定。

用直剪仪进行固结快剪或快剪试验测得土的总应力强度指标后，还存在使用峰值还是将峰值打折扣后使用的问题。根据上海市标准《地基基础设计规范》的规定，采用直剪仪固结快剪峰值或快剪峰值确定抗剪强度指标，这种指标适用于计算土压力和整体稳定性。

直剪试验存在较多的缺点，如不能控制土样的排水条件，剪切面人为固定以及剪切面上的应力分布不均匀等。三轴试验则没有这些缺点。当进行三轴试验时，可进行不固结不排水或不排水两种状态的试验，提供总应力和有效应力两类强度指标。

图2-3-20 不同试验方法的φ角比较

不同的试验方法所得结果是很不相同的，在强度指标量值的选用上，由于土排水固结将会不同程度增强土的强度，如内摩擦角φ，一般的正常固结土，排水剪得到的φcd最大，固结不排水剪的φcu次之，不固结不排水的φu值最小，如图2-3-20所示。黏聚力c值亦不同，快剪所得的c值较大。

有效应力法考虑了孔隙水压力的影响。有效指标测定可用直剪慢剪、三轴排水剪和固结不排水剪（测孔压）等方法求得。因此，在实际工程的强度和稳定性计算中，应根据土质条件和工程的特点来选用恰当的试验方法，以进行地基或建筑物的稳定和安全的估计以及控制不同的试验条件可得到不同的强度指标。例如，当考虑土体固结使强度增长的计算或稳定性分析时，即测定土体在任何固结度时的抗剪强度应使用有效强度指标；当地基为厚度较大的渗透性低的高塑性饱和软土，而建筑物的施工速度又较快，预计土层在施工期间的排水固结程度很小，这时就应当采用快剪试验的强度指标来校核建筑物的地基强度及稳定性；若黏土层很薄，建筑物施工期很长，预计黏土层在施工期间能够充分排水固结，但是在竣工后大量活荷载将迅速施工（如料仓），或可能有突然施加的活载（如风力）或地基应力可能发生变化（如地下水位变化）等，在这些情况下，就采用固结快剪指标；对于可能发生快速破坏的正常固结土天然边坡或软土地基或路堤土体等均认为应用快剪和不排水剪指标进行验算控制。当然，上述的各种情况并不是具有很准确的概念的。例如，速度快慢、土层厚薄、荷载大小及施工速度等都没有定量数值的，都需根据实际情况配以实际经验或地区经验酌定。如在软土层的深开挖中，考虑坑底隆起甚至整体滑动稳定性等的控制验算时，则认为应该采用不排水指标。

2.3.2 围岩压力计算

2.3.2.1 围岩压力

1.围岩压力的概念

地下空间开挖之前，地层中的岩土体处于复杂的原始应力平衡状态。地下空间开挖之后，围岩中的原始应力平衡状态遭到破坏，应力重新分布，从而使围岩产生变形。当变形发展到岩土体极限变形时，岩土体就产生破坏。如在围岩发生变形时及时进行衬砌或围护，阻止围岩继续变形，防止围岩塌落，则围岩对衬砌结构就要产生压力，即围岩压力。所以围岩压力就是指位于地下空间结构周围变形或破坏的岩土体，作用在衬砌结构或支撑结构上的压力。从广义上理解，围岩压力既包括围岩有支护的情况，也包括围岩无支护的情况；既包括作用在普通的传统支护如架设的支撑或施作的衬砌上所显示的力学性态，也包括在喷锚和压力灌浆等现代支护的方法中所显示的力学性态。从狭义上理解，围岩压力是围岩作用在支护结构上的压力。在工程中一般研究狭义围岩压力，它是作用在地下结构的主要荷载。

2.围岩压力的产生

地下空间结构是在具有一定的应力历史和应力场的围岩中修建的，其中的一个重要力学特征就是围岩压力。所以，围岩的初始应力场的状态将极大地影响着在其中发生的一切力学性状，这是和地面工程极其不同的。因此，通过研究地下空间结构开挖前后围岩的应力状态，对于指导隧道的设计和施工有着重要意义。

（1）围岩的初始地应力场。

通常所指的初始应力场泛指地下空间结构开挖前岩土体的初始静应力场，它的形成与岩土体构造、性质、埋藏条件以及构造运动的历史等有密切关系。在地下空间结构开挖前是客观存在的，在这种应力场中修建地下空间结构就必须了解它的状态及其影响。

岩土体的初始应力状态与施工引起的附加应力状态是不同的，它对坑道开挖后围岩的应力分布、变形和破坏有着极其重要的影响。为此，不了解岩土体初始应力状态就无法对地下空间结构开挖后一系列力学过程和现象作出正确的评价。

岩土体的初始应力状态一般受到两类因素的影响：第一类因素有重力、温度、岩土体的物理力学性质、岩体的结构、地形等经常性的因素；第二类因素有地壳运动、地下水活动、人类的长期活动等暂时性的或局部性的因素。从上可将应力场分为自重应力场和构造应力场。初始应力场是由两种力系构成的，即

式中 σγ——自重应力分量，MPa；

σx——构造应力分量，MPa。

图2-3-21 地表水平时的自重应力场

在上述因素中，目前主要研究和使用的是由岩土体的体力或重力形成的应力场，称为自重应力场。而其他因素只认为是改变了由重力造成的初始应力状态。一般来说，重力应力场可以采用连续介质力学的方法。它的可靠性则决定于对岩土体的物理力学性质及岩体的结构—力学性质的研究，其误差通常是较大的。而其他因素造成的初始应力场，主要是用试验（现场试验）方法完成的。

1）自重应力场。研究具有水平向成层岩土层，地面平坦的情况。如图2-3-21所示，设岩土体是线性变形的，在xz平面内是均质的，沿y轴方向是非均质的，设E、μ分别为沿垂直方向的岩土体弹性模量和泊松比。因岩土体的变形性质沿深度而变，故可假定：E=E（y）；μ=μ（y）；E1=E1（y）；μ1=μ1（y）。

单位体积重量也认为是沿深度而变，即γ=γ（y），这样，距地表面h深处一点的应力状态计算式可表示为：

式（2-3-75）须满足地面的边界条件，即h=0，σy=0。

一般认为，处于静力平衡状态的岩体内，沿水平方向的变形等于零，故

当E=E1=常数，μ=μ1=常数时，则得出大家熟知的公式，即

设λ=μ/（1-μ），称之为侧压力系数，则式（2-3-79）可写为

显然当垂直应力已知时，水平应力的大小决定于围岩的泊松比。大多数围岩的泊松比变化在0.15～0.35，因此，在自重应力场，水平应力通常是小于垂直应力的。

深度对初始应力状态有着重大影响。随着深度的增加，σy和σx（σz）都在增大，但围岩本身的强度是有限的，因此当σy和σx增加到一定值后，各向受力的围岩将处于隐塑性状态。在这种状态下，围岩物性值（E、μ）是变化的，λ值也是变化的，并随深度的增加，λ值趋于1，即与静水压力相似，此时围岩接近流动状态。

上述各式所表达的应力场是理论性的。实际情况中，由于地壳运动，岩层会产生各种变动，如形成向斜、背斜、断裂等，在这种情况下，围岩的初始应力场也有所变化。例如，以垂直成层为例，由于各层的物理力学性质不同，在同一水平面上的应力分布可能是不同的；在背斜情况下，由于岩层成拱状分布，使上层岩层重量向两侧传递，直接处于背斜下的岩层受到较小的应力（图2-3-22），在被断层分割的楔形岩块情况中（图2-3-23）也可观察到类似情况，这在实际工作的应用中是不能忽视的。

图2-3-22 背斜构造的自重应力场

图2-3-23 断层构造的自重应力场

2）构造应力场。地层的应力场是由自重应力场和构造应力场构成的。地质学家认为，地层各处发生的一切构造变形与破裂都是地应力作用的结果，因而地质力学就把构造体系和构造形式在形成过程中的应力状态称为构造应力场。构造应力场是随时间变化的动态场。

由于构造应力场的不确定性，很难用函数形式来表达。它在整个初始应力场中的作用只能通过某些量测数据来分析，在实际工程中应用较少。一般认为，构造应力场具有以下特性：

a.地质构造形态不仅改变了重力应力场，而且以各种构造形态获得释放，还以各种形式积蓄在岩体内，这种残余构造应力将对地下空间结构产生重大影响。

b.构造应力场在较浅的地层中已普遍存在，而且最大构造应力场的方向，近似为水平，其值常常大于重力应力场中的水平应力分量，甚至大于垂直应力分量。这与重力应力场有较大的差异。

c.构造应力场是不均匀的，它的参数在空间和时间上都有较大的变化，尤其是它的主应力轴的方向和绝对值的变化很大。

用分析方法求解初始应力场，由于构造的、力学形态的、技术的原因，结果常常有极大的偏差。因此，在理论分析中，常把初始应力场按静水应力场来处理。在某些重要的工程中，多采用实地量测的方法，来判断主应力的大小及其方向的变化规律。这些方法中，比较通用的有地震法、水压致裂法、超前钻孔应力解除法和声发射法等。

（2）地下空间结构开挖后的应力场。

地下空间结构的开挖，移走了地下空间内原来受力的部分岩土体，破坏了围岩初始应力场的平衡状态，围岩从相对静止的状态转变为变动的状态。围岩力图达到一个新的平衡，其应力和应变开始一个新的变化运动，运动的结果，使得围岩的应力重新分布并向开挖的地下结构空间变形。理论和试验证明，地下空间结构开挖后，解除了部分围岩的约束，在地下结构空间周围初始应力将沿隧道一定范围重新分布，一般情况下，应力状态如图2-3-24所示，形成3个区域。

图2-3-24 隧道开挖后的应力状态

Ⅰ区域称为低应力区，在有裂缝和破碎的岩石中，如松软围岩中，由于岩体强度小，地下空间结构开挖后，岩体不能承受急剧增大的周边应力而产生塑性变形，使地下空间结构周围的围岩应力松弛而形成一个应力降低的区域，使高应力向岩体深处转移，被扰动的这部分岩体就开始向地下结构空间内变形。变形值超过一定数值，岩体则出现移动、坍塌或处于蠕动状态。

Ⅱ区域称为高应力区，这一部分岩体也受到了扰动，在应力重分布的过程中使这个范围内岩体的应力升高，但强度尚未被破坏，实际相当于形成了一个承载环，起到承载的作用。

Ⅲ区域为原始应力区，距离地下空间结构较远的岩体未受到开挖的影响，仍处于原始的应力状态。

在极坚硬完整的围岩中，地下结构空间周边应力急剧增高，由于岩体强度大，未形成如松软破碎岩体那种变形过大和开裂坍塌的情况，因而不存在应力降低区，而只有高应力向原始应力过渡的重分布特点，所以往往不需要设置支护结构来提供外加平衡力。换句话说，这种地下空间结构是自稳的。

综上所述，地下空间结构的开挖，破坏了围岩原有的平衡，产生了变形和应力重新分布，但是这种变化发展不是无限度的，它总是为了达到新的平衡而处在一种新的应力状态中。对稳定性不同（极稳定的、稳定的、基本稳定的、不稳定的）的围岩中开挖地下空间结构，情况是有所不同的，围岩变化到一定程度总是要暂时稳定下来。开挖方法和面积所影响的范围也有大有小，根据开挖的条件，有的可达地面，有的只涉及隧道周围一定深度（松动、破坏的范围），有的则影响极小。

2.3.2.2 围岩压力的分类

围岩压力按作用力发生的形态分类，一般可分为以下几种类型：

1.松动压力

由于开挖而松动或坍塌的岩体以重力形式直接作用在支护结构上的压力称为松动（散）压力，松动压力按作用在支护上的位置不同分为围岩垂直压力、围岩水平压力和围岩底部压力。对于一般水平洞室，围岩垂直压力是主要的，也是围岩压力中研究的主要内容。在坚硬岩层中围岩水平压力较小，可忽略不计，但在松软岩层中应考虑围岩水平压力的作用。围岩底部压力是自下而上作用在衬砌结构底板上的压力，它产生的主要原因是某处地层遇水后膨胀，如石膏、页岩等，或是由边墙底部压力使底部地层向洞室里面突起所致。松动压力通常在下列3种情况下发生：

（1）在整体稳定的岩体中，可能出现个别松动掉块的岩石。

（2）在松散软弱的岩体中，坑道顶部和两侧边帮冒落。

（3）在节理发育的裂隙岩体中，围岩某些部位沿软弱面发生剪切破坏或拉坏等局部塌落。

造成松动压力的原因很多，如围岩地质条件、岩体破碎程度、开挖施工方法、爆破作用、支护设置时间、回填密实程度、洞形和支护形式等。比如，岩体破碎、与临空面组成不稳定岩块体、洞顶平缓、爆炸作用大、支护不及时以及回填不密实等都容易造成松动压力。

2.形变压力

它是由于围岩变形受到与之密贴的支护如锚喷等的抑制，而使围岩与支护结构共同变形过程中，围岩对支护结构施加的接触压力。所以形变压力除与围岩应力状态有关外，还与支护时间和支护刚度有关。

按其成因可进一步分为以下几种情况：

（1）弹性形变压力。当采用紧跟开挖面进行支护的施工方法时，由于存在着开挖面的“空间效应”而使支护受到一部分围岩的弹性变形的作用，由此而形成的变形压力称为弹性形变压力。在隧道开挖过程中，由于受到开挖面的约束，使其附近的围岩不能立即释放全部瞬时弹性位移，这种现象称为开挖面的“空间效应”。如果在“空间效应”范围（一般为1～1.5倍洞跨）内，设置支护就可以减少支护前的围岩位移值。所以采用紧跟开挖面支护的施工方法可提高围岩的稳定性。

（2）塑性形变压力。由于围岩塑性变形（有时还包括一部分弹性变形）而使支护受到的压力称为塑性形变压力。这是最常见的一种围岩形变压力。

（3）流变压力。围岩产生显著的随时间增加而增加的变形或流动，从而对支护产生的变形压力称为流变压力。流变压力具有显著的时间效应，随时间的延续不断增加，最终趋于稳定或超过支护结构的承载能力而导致支护体的破坏。

3.膨胀压力

当岩土体具有吸水膨胀崩解的特征时，由于围岩吸水而膨胀崩解所引起的压力称为膨胀压力。它与形变压力的基本区别在于它是由吸水膨胀引起的。从现象上看，它与流变压力有相似之处，但两者的机理完全不同，因此对它们的处理方法也各不相同。

岩土体的膨胀性，既取决于其含蒙脱石、伊利矿和高岭土的含量，也取决于外界水的渗入和地下水的活动特征。岩层中蒙脱石含量越高，有水源供给，膨胀性越大。

4.冲击压力

它通常是由“岩爆”引起的。当围岩中积累了大量的弹性变形能之后，在开挖时，隧道由于围岩的约束被解除，被积累的弹性变形能会突然释放，引起岩块抛射所产生的压力。

由于冲击压力是岩体能量的积累和释放问题，所以它与弹性模量直接相关，弹性模量大的岩体，在高地应力作用下，易于积累大量的弹性变形能，一旦遇到适宜条件，它就会突然猛烈地大量释放。

2.3.2.3 影响围岩压力的因素

影响围岩压力的因素很多，通常可分为两大类：一类是地质因素，它包括原始应力状态、岩土力学性质、岩体结构面、地下水的作用等；另一类是工程因素，它包括洞室的尺寸与形状、支护的类型和刚度、施工方法、支护设置时间、洞室的埋置深度等。其中，岩体稳定性的关键之一在于岩体结构面的类型和特征。

1.地质方面的因素

从岩性角度看，围岩主要分为脆性围岩和塑性围岩。塑性围岩主要包括各类黏土质岩石、黏土岩类、破碎松散岩和吸水易膨胀岩等，通常具有风化速度快、力学强度低和遇水软化、崩解、膨胀等不良性质，故对隧道围岩稳定性极为不利。脆性围岩主要为强度高的各类硬质岩，由于这类岩石的强度远远高于岩体的强度，故脆性围岩的强度主要取决于岩体结构面的抗剪强度，岩体本身的强度影响并不显著。由于岩体是各类结构面切割而成的岩块所组成的组合体，岩体的稳定性和强度往往由软弱结构面所控制。因此，影响洞室稳定性及围岩压力的地质因素可归纳为以下几点：

（1）岩体的完整性或破碎程度。对于围岩压力来说，岩体的完整性又比岩体的坚固性重要得多。

（2）各类结构面，特别是软弱结构面的产状、分布特性和力学性质，包括结构面的充填情况、充填物的性质等，都将会影响围岩压力的大小及分布特性。

（3）地下水的活动情况。

（4）对于软弱岩层，其岩性、强度值也是重要的因素。

在坚硬完整的岩层中，洞室围岩一般处于弹性状态，仅有弹性变形或不大的塑性变形，且变形在开挖过程中已经完成，因此，这种地层中不会出现塑性变形压力。支护的作用仅仅是为了防止围岩掉块和风化。

裂隙发育、弱面结合不良及岩性软弱的岩层，围岩都会出现较大的塑性区，因而需要设置支护，这时支护结构上会出现较大的塑性形变压力或松动压力。岩石地层处于初始潜塑状态时支护结构上会出现极大的塑性形变压力。

2.工程方面的因素

影响洞室稳定性及围岩压力的工程方面的主要因素有：洞室的形状、尺寸；支护结构的形式和刚度；洞室的埋置深度或覆盖层厚度；施工中的技术措施等。

（1）洞室的形状和尺寸。

洞室的形状和洞室大小，包括洞室的平面、立体形式、高跨比、矢跨比及洞室立面尺寸等。由于洞室形状与围岩应力分布有着密切关系，因而与围岩压力也有关系。通常认为圆形或椭圆形洞室产生的围岩压力较小，而矩形或梯形则较大，因为对于矩形或梯形洞室顶部容易出现拉应力，而在两边转角处又有较大的集中应力。

（2）支护结构的形式和刚度。

支护形式、支护刚度和支护时间（开挖后围岩暴露时间的长短）对围岩压力都有一定的影响。洞室开挖后随着径向变形的产生，围岩应力产生重分布，同时，随着塑性区的扩大，围岩所要求的支护反力也随之减小。所以，采取喷混凝土支护或柔性支护结构能充分利用围岩的自承能力，使围岩压力减小。但是，支护的柔性不能太大，因为当塑性区扩展到一定程度出现塑性破裂，岩体的c、φ值相应降低，引起围岩松动，这时塑性形变压力就转化为松动压力，且可能达到很大的数值。还须指出，支护刚度不仅与材料和截面尺寸有关，而且还与支护的形式有关。实践表明，封闭型的支护比不封闭型的支护具有更大的刚性。对于可能出现底鼓现象的洞室，尤其要采用封闭型支护。

（3）洞室的埋置深度或覆盖层厚度。

洞室的埋置深度对围岩压力有着显著的影响。对于浅埋洞室，围岩压力随着深度的增加而增加，且水平向的初始应力较大，相对于洞室稳定性有一定的帮助。对于深埋洞室，由于埋深直接关系到侧压力系数的大小，特别是埋深很大时，还可能出现潜塑性状态，因此，埋置深度将影响围岩压力的大小。

（4）施工中的技术措施。

施工中的技术措施得当与否，对洞室的稳定性及围岩压力的大小都有很大的影响。例如，爆破造成围岩松动和破碎的程度；洞室的开挖顺序和方法；支护的及时性，围岩暴露时间的长短；岩体超欠挖等情况；设计的洞形、幅度尺寸改变的情况等均对围岩压力有很大的影响。

除上述影响因素外，还有一些其他的影响因素。例如，洞室的几何轴线与主构造线或软弱结构面的组合关系，相邻洞室的间距，时间因素等对围岩压力也有影响。

2.3.2.4 围岩压力的计算

1.按松散体理论计算围岩压力

（1）垂直围岩压力。

按松散体理论计算围岩压力是从20世纪初开始的。由于考虑到岩体裂隙和节理的存在，岩体被切割为互不联系的独立块体。因此，节理密集和非常破碎的岩体通常被认为是松散岩体；松散介质的力学性能可看成无粘接力的松散体。但是，被各种软弱面切割而成的岩块结合体与真正理论上的松散体也并不完全相同，这就需要将真正的岩体代之以某种具有一定特性的特殊松散体，以便对这种特殊的松散体采用与理想松散体完全相同的计算方法。围岩压力的松散体理论是在长期观察地下洞室开挖后的破坏特性的基础上建立的。

理想松散体颗粒间抗剪强度为

而在有黏聚力的岩土体中抗剪强度为

式中 φ——内摩擦角；

σ——剪切面上的法向应力；

c——岩土体的黏聚力。

改写式（2-3-82）为

令fk=tanφ+c/σ，则

比较式（2-3-84）与式（2-3-81），在形式上是完全相同的。因此，对于具有一定粘接力的岩土体，同样可以当作完全松散体对待，只需以具有粘接力岩土体的fk=tanφ+c/σ代替完全松散体的tanφ即可。

1）浅埋结构上的垂直围岩压力。当地下空间结构上覆岩土层较薄时，通常认为覆盖层全部岩土体重量作用于地下空间结构上。这时地下空间结构所受的围岩压力就是覆盖层岩土柱的重量（图2-3-25（a）），即

式中 q——垂直围岩压力的集度；

γ——岩土体重度；

H——地下空间结构顶盖上方覆盖层厚度。

图2-3-25 浅埋结构垂直围岩压力计算图式

可以看出，用式（2-3-85）所计算的围岩压力是一种最不利的情况。而实际上，当地下空间结构上方覆盖的岩土层向下滑动时，两侧不动岩土层不可避免地将向滑动体提供摩擦力，阻止其下滑。只要地下空间结构所提供的反力与两侧所提供的摩擦力之和能克服这种下滑，则作用在地下空间结构上的围岩压力只是岩土柱重量与两侧所提供摩擦力之差。

由于地下空间结构上方的覆盖层不可能像图2-3-25（a）那样规则地沿壁面下滑，为方便计算，做一定的简化处理。假定从洞室的底角起形成一与结构侧壁成（45°-φ/2）的滑移面，并认为这个滑移面延伸到地表（图2-3-25（b））。只有滑移面以内的岩土体才有可能下滑，而滑移面之外的岩土体是稳定的。取ABCD为向下滑动的岩土体，它所受到的抵抗力是沿AB和CD两个面的摩擦力之和。因此，作用在地下空间结构上的总压力为

式中 G——ABCD体的总重量；

F——AB或CD面对G的摩擦力。

由几何关系，有

所以

由土力学的知识可知，AB（或CD）面所受的水平力为主动土压力，为三角形分布，其最大值在A点（或D点），即

AB（CD）面所受的总的水平力为

AB（CD）面所受的摩擦阻力为

将式（2-3-89）和式（2-3-92）代入式（2-3-86），有

垂直围岩压力集度为

式（2-3-94）为考虑摩擦影响的围岩压力计算公式。可见，q值是随地下空间结构所处的深度H而变化。为了解其变化情况，现将式（2-3-93）对H取一次导数，并令其为零，则可求得产生最大围岩压力的深度为

在这个深度上的围岩压力总值为

围岩压力集度为

由式（2-3-95）和式（2-3-97），有

由此可知，在Hmax这个深度上，摩擦阻力为全部岩土柱重量的1／2。分析式（2-3-93）可以发现，当以H=2Hmax代入时，Q=0。这表明，摩擦阻力已全部克服了岩土体下滑的重量。

实际上不能认为当地下空间结构埋置深度H>2Hmax时地下空间结构上完全没有围岩压力作用。这是因为研究的是松散的围岩，而不是一个刚性的块体。对于一个刚性块体，只要摩擦力能克服其重力，块体就不会发生移动，则位于它下面的结构就不承受该块体力的作用。而对于下滑的松散体来说，虽然两侧的摩擦阻力在数值上已超过岩土柱的全部重量，但是远离摩擦面（特别是跨中）的岩土体将因其自重而脱落。

2）深埋结构上的垂直围岩压力。深埋结构是指当地下空间结构的埋深大到这样一种程度，以至两侧摩擦阻力远远超过了滑移柱的重量。因而不存在任何偶然因素能破坏岩土柱的整体稳定性。深埋结构的围岩压力是研究地下洞室上方一个局部范围内的压力现象。如图2-3-26所示，由于深埋结构的特点，保障了ABCDE部分岩土体的稳定性，这部分岩土体称为岩土拱。由于它具有将压力卸于两侧岩土体的作用，所以又叫卸荷拱。此时，只有AED以下岩土体重量对结构产生压力，因而称此为压力拱。

图2-3-26 深埋结构垂直围岩压力计算图式

图2-3-27 计算简图

①压力拱的曲线形状。压力拱能够自然稳定而平衡，它将是一个合理拱轴，其上任何一点是无力矩的。忽略由于压力拱曲线本身形状造成岩土体重量的不均匀性。

假定拱轴线受到均布荷载，集度为q。如图2-3-27所示，根据压力拱轴线各点无力矩的理论，可建立以下方程，即

式中 H——压力拱拱顶所产生的水平推力。可见，压力拱是二次抛物线曲线。

②压力拱高度。由图2-3-27可知，平衡拱顶推力H的力是拱脚处的水平反力T，当T≥H时，压力拱可以保持稳定，而T是由q形成的摩擦力提供的。q在拱脚形成的全部垂直反力为

由A所形成的水平摩擦力为

当T=H时，压力拱处于极限平衡状态，这时压力拱的方程为

如果考虑压力拱存在的安全性，可以认为T/2=H，而拱脚只用存在的水平抗力之半平衡拱顶水平推力，将此再代入式（2-3-99），得出具有相当安全系数为2的压力拱方程，即

当x=a1时，由式（2-3-103）可求出压力拱高度为

式（2-3-104）就是从20世纪初开始应用的计算地下空间结构围岩压力的一个古老公式，称为普氏公式。

压力拱曲线上任何一点的高度为

因此，当地下空间结构上方具有足够厚度的覆盖层时，由于卸荷拱起到将岩土体重量转嫁给洞室两侧的作用，因而只有压力拱内的岩土体重量作用在结构上。

在地下空间结构设计中，常忽略压力拱曲线所造成的荷载集度的差别，垂直围岩压力取均布形式，并按h1计算，即

式中 q——作用在地下空间结构上的垂直围岩压力集度。

由式（2-3-104）看出，fk是表征岩土体属性的一个重要物理量，它决定岩土体性质对压力拱高度的影响，fk是岩土体抵抗各种破坏能力的综合指标，又称岩土层坚硬系数或普氏系数。fk值大，则岩土体抵抗各种破坏，如抵抗冲击、爆破、开挖等的能力就强。它的数值可以表示为

对碎石类土，有

对黏性土和粉土，有

对岩体，有

式中 Rc——岩体极限抗压强度。

由于岩土体结构极为复杂，同种岩体也因裂隙、层理、节理发育状况不同，表现出对各种破坏抵抗能力的不同。fk值需结合现场、综合各种地质实际由经验判定。

（2）水平围岩压力。

地下空间结构上作用着垂直围岩压力和水平围岩压力，垂直围岩压力的计算已如前述。一般来说，垂直围岩压力是地下空间结构所不可忽视的荷载，而水平围岩压力只是对较松软的岩层（如fk≤2时）才考虑。

地下空间结构的侧墙像挡土墙一样承受着围岩的水平压力。因此，为计算水平围岩压力，可首先计算出该点的垂直围岩压力集度，而后乘以侧压力系数tan2（45°-φ/2），即得水平围岩压力集度。所以任意深度z处的水平围岩压力集度为

水平围岩压力沿深度呈三角形分布，其值介于主动土压力与静止土压力之间。如果沿结构深度上岩土体由多层组成，则必须分层计算各层的水平围岩压力。

（3）底部围岩压力。

图2-3-28 弹塑性模型计算围岩压力图

在某些松软岩层中构筑地下建筑物，由于在衬砌侧墙底部轴向压力作用下，或某些岩层，如黏性土层及石膏等遇水膨胀，都有可能使洞室底部产生隆起现象。这种由于围岩隆起而对衬砌底板产生的作用力，称为底部围岩压力。就数值来说，底部围岩压力一般比水平围岩压力小得多。由于地下工程一般都构筑在中等坚硬以上围岩中，通常都不需要计及底部围岩压力。

2.按弹塑性理论计算围岩压力

如图2-3-28所示，地下圆形洞室周围出现的各种变形区域，假定R为非弹性变形区的半径，而以半径为无穷大（与a相比相当大）划定一个范围，则在这个范围的边界上作用着静水压力p，而在半径为R的边界上作用着应力σR。这时弹性区中的应力可根据弹性理论中厚壁圆筒的解答描述，即

而非弹性变形区中的应力根据弹塑性理论解答为

式中 pb——支护对洞室周边的反力，亦即围岩对支护的压力，二者大小相等；

p——洞室所在位置的原始应力，p=γH（γ为重度，H为埋深）；

a——洞室半径；

R——非弹性变形区的半径。

在弹性区与非弹性区的交界面上，应力σθ、σr既满足非弹性变形区中的应力方程式（2-3-109），也满足弹性变形区中的应力方程式（2-3-108）。

对于非弹性变形区，由式（2-3-109）得

从弹性区而言，由式（2-3-108）可得

在弹性区和非弹性区的交界上，即r=R，应力状态应是定值，因此，式（2-3-110）与式（2-3-111）应相等，于是，有

由此可得

也可以改写为

式中符号意义同前。

式（2-3-114）就是著名的修正芬纳公式。它表示当岩体性质、埋深等确定的情况下，非弹性变形区大小与支护对围岩提供的反力间的关系。

3.按围岩分级和经验公式确定围岩压力

（1）深、浅埋隧道的判定原则。

隧道埋深不同，确定围岩压力的计算方法也不同，因此有必要分清深埋与浅埋隧道的界限。一般情况下，应以隧道顶部覆盖层能否形成“自然拱”为原则，但要确定出界限是很困难的，因为它与许多因素有关，因此只能按经验作出概略的估算。深埋隧道围岩松动压力值是根据施工塌方平均高度（等效荷载高度）出发，为了能形成此高度值，隧道上覆岩体就应有一定的厚度；否则塌方会扩展到地面。为此，深、浅埋隧道分界深度至少应大于塌方的平均高度，且具有一定余量。根据经验，这个深度通常为2～2.5倍的塌方平均高度值，即

式中 Hp——深、浅埋隧道分界的深度；

h q——塌方平均高度，有

s——围岩级别，如Ⅲ级围岩，则s=3；

ω——宽度影响系数，且ω=1+i（B-5）；

B——坑道的宽度，m；

i——以B=5m为基准，B每增减1m时的围岩压力增减率，当B<5m时取i=0.2，B>5m时取i=0.1。

当隧道覆盖层厚度H≥Hp时为深埋，H<Hp时为浅埋。一般在松软的围岩中取高限，在较坚硬的围岩中取低限，对于其他情况，则应作具体分析后确定。

（2）深埋洞室围岩松动压力的确定方法。

当隧道的埋置深度超过一定限值后，按围岩的“成拱作用”计算松动压力时，仅是隧道周边某一破坏范围（自然拱）内岩体的重量，而与隧道埋置深度无关，故解决这一破坏范围的大小就成为问题的关键。下面介绍我国铁路隧道设计规范所推荐的方法。

确定围岩松动压力的关键是找出其破坏范围的规律性，而这种规律性只有通过大量的实际破坏性态的统计分析，才能发现围岩破坏的直接表现形式是施工中产生的塌方，因此，可根据大量铁路隧道塌方资料的统计分析，找出适用铁路隧道的围岩破坏范围形状和大小的规律性，从而得出计算围岩松动压力的统计公式。由于所统计的塌方资料是有限的，加上资料的可靠性也是相对的，所以这种统计公式也只能在一定程度上反映围岩松动压力的真实情况。现行我国《铁路隧道设计规范》（TB 10003—2005）中推荐的计算围岩垂直匀布松动压力q的计算公式就是根据西南地区127座单线铁路隧道357个塌方点的资料进行统计分析而拟定的，根据隧道结构按破损阶段法或概率极限状态法设计的不同而采用不同的公式。

1）采用破损阶段法设计隧道结构，有

式中 γ——围岩容重，kN/m3；

h q——塌方平均高度，m，见式（2-3-116）。

以上公式是在塌方统计的基础上，考虑地质条件及坑道宽度建立的。公式的适用条件为：①Ht/B<1.7，Ht为坑道净高度（m）；②深埋隧道；③不产生显著的偏压力及膨胀压力的一般围岩；④采用传统的矿山法施工。

随着现代隧道施工技术的发展，隧道开挖引起的破坏范围将会被控制在最小限度内，所以围岩松动压力的发展也将受到控制。

在上述产生竖向压力的同时，隧道也会有侧向压力出现，即围岩水平匀布松动压力e，其计算方法参见表2-3-3中的经验值（一般取平均值），其适用条件同式（2-3-117）。

2）采用概率极限状态法设计隧道结构，有

式中 s——围岩级别。

其他符号意义同上。

围岩水平匀布松动压力e的计算方法同样参见表2-3-3。

除了确定压力的数值外，还要考虑压力的分布状态。根据我国隧道垂直围岩压力的一些量测资料表明，作用在支护结构上的荷载是很不均匀的，这是因为在Ⅰ级及Ⅱ级围岩中，局部塌方是主要的；而在其他类别的围岩中，岩体破坏范围的大小和形状受岩体结构、施工方法等因素的控制，是极不规则的。

根据统计资料，围岩垂直松动压力的分布大致可概括为4种，如图2-3-29所示。用等效荷载，即非匀布压力的总和应与匀布压力的总和相等的方法来确定各荷载图形的高度值。

另外，还应考虑围岩水平松动压力非均匀分布的情况。

上述压力分布图形只概括了一般情况，当地质、地形或其他原因可能产生特殊荷载时，围岩松动压力的大小和分布应根据实际情况分析确定。

（3）浅埋隧道围岩松动压力的确定方法。

图2-3-29 围岩垂直松动压力分布

对于隧道来说，浅埋地段一般都出现在洞口附近。有时隧道洞口地段处于漫坡进洞或在某一较长区段处于天然台地之下，因隧道接近地表，围岩多为松散堆积物，“自然拱”无法形成，此时的围岩压力计算不能再引用上述深埋情况的计算公式，而须另外按浅埋情况进行分析计算。

前已述及，当隧道埋深不大时，开挖的影响将波及地表而不能形成“自然拱”。从施工过程中岩土体的运动情况可以看到隧道开挖后如不及时支撑，岩土体即会大量塌落或移动，这种移动会影响到地表并形成一个塌陷区域，此时岩土体将会出现两个滑动面，如图2-3-30所示。

图2-3-30 浅埋隧道围岩松动压力

对于这种情况，可以采用松散介质极限平衡理论进行分析。当滑动岩土体下滑时受到两种阻力作用：一是滑面上阻止滑动岩土体下滑的摩擦阻力；二是支护结构的反作用力，这种反作用力的数值应等于滑动岩土体对支护结构施加的压力，也就是所要确定的围岩松动压力。根据受力的极限平衡条件有

滑动岩土体重力=滑面上的阻力+支护结构的反作用力（围岩松动压力）

则

围岩松动压力=滑动岩土体重力-滑面上的阻力

计算浅埋隧道围岩松动压力分两种情况：

一种是隧道埋深h不大于等效荷载高度hq（即h≤hq）。因上覆岩土体很薄，滑动面上的阻力很小，为安全起见，计算时可省略滑面上的摩擦阻力，则围岩垂直匀布压力为

式中 γ——围岩容重，kN/m3；

h——隧道埋置深度，m。

围岩水平匀布压力按朗肯公式计算，有

式中 He——隧道开挖高度，m。

另一种是隧道埋置深度h大于等效荷载高度hq（即h>hq）。隧道随着埋深的增加，上覆岩土体逐渐增厚，滑面上的阻力也随之增大。因此，在计算围岩压力时，必须考虑滑面上阻力的影响，按式（2-3-94）计算。

（4）浅埋山坡处洞室的松动围岩压力计算。

当洞室处在图2-3-31所示的情况时，围岩压力将产生偏压。此时，计算围岩压力的方法常采取与岩土柱法相同的原理。考虑岩土柱两侧摩擦力的作用，作用在衬砌上的垂直压力等于岩土柱ABB0A0的重量减去两侧破裂面（AB和B0A0）上的摩擦力的剩余值。

图2-3-31 山坡处洞室围岩压力计算简图

岩土柱右侧面上的摩擦力，可由岩土柱侧面AB和滑动面AC所形成的岩土体，在力的平衡条件下求得。设θ为岩土柱右侧面的摩擦角，φ为岩土体的内摩擦角，β为滑动面与水平面的夹角，α为地面的坡角。根据该计算简图上作用力的平衡条件，可作出力多边形。岩土柱ABC的重量为

其中

将式（2-3-121）代入式（2-3-122）得

在力三角形中，根据正弦定律得

将式（2-3-124）的分子和分母同乘以cos（β-φ），并将式（2-3-123）代入式（2-3-124），简化后可得

在式（2-3-125）中，岩土柱滑动面与水平面的夹角β为未知的参数，它可根据求P的极大值求得

同理，可得A0B0面上的P0、θ0、tanβ0的表达式。衬砌上承受的总荷载为

将式（2-3-126）代入式（2-3-127），并化简后得

衬砌上承受的荷载强度可表示为

式中的参数按下式求得，即

式中 γ——岩土体的重度；

hi——计算点衬砌以上岩土柱的高度；

W——洞室顶部岩土柱的总重量，W=αγ（h+h0）；

λ，λ0——侧压力系数；

β，β0——滑动面与水平面的夹角；

α——地表的坡面；

φ——岩土体的内摩擦角；

θ——岩土柱两侧的摩擦角，对于岩石，θ=（0.7～0.8）φ；对于土，θ=（0.3～0.5）φ，对于淤泥、流砂等松软土，θ=0。

衬砌侧墙上的水平侧压力可按式（2-3-130）计算，即

水平侧压力的分布图形为梯形，如图2-3-31所示。

最后，尚须指出，式（2-3-129）只适用于采用矿山法施工的隧洞。若隧洞采用明挖法施工，则按式（2-3-129）计算所得的荷载值将比实际的偏小。这时，须采用不考虑岩土柱摩擦力的方法来计算衬砌上的荷载。