3.2　同位传感器/作动器

在设计压电式模态传感器之前，首先简要介绍同位传感器/作动器（Collocated sensor and actuator）概念。同位置配置的传感器和作动器经常用于设计主动噪声和振动控制系统，例如直接速度反馈（DVFB）控制和正位置反馈（PPF）控制系统中。理论上，对于梁板等的振动结构，需要同时控制无穷多个模态。然而在现实控制系统中一般仅控制前几阶结构模态，剩余的统称为残余模态。在控制系统中，这些高阶残余模态往往会对整个系统的稳定性造成破坏性的影响，即所谓的控制溢出现象。通过使用同位的传感器、作动器可以在一定程度上防止产生这种控制溢出现象。一般来讲，在状态变量表示形式中（具体见本章附录），当观测矩阵C与输入矩阵B成比例时即可实现这种同位的配置。即

CT=αB

(3.1)

式中：α为实常数。

考虑图3.3中的振动梁，假设外激励力为一个点力。任意位置处的梁响应可以表示为振型函数的线性组合

(3.2)

式中：ηn为第n阶结构模态坐标；Φn（x）为振动梁的第n阶的结构模态（振型函数）；η是结构的模态位移向量；Φ为模态矩阵。

根据模态分析理论，可以利用模态坐标表示梁的振动

(3.3)

式中：Ms、Cs和Ks分别为质量、阻尼和刚度矩阵；Q是广义力。

假设阻尼矩阵Cs与质量和刚度矩阵成比例

Cs=aKs+bMs

(3.4)

利用振型的正交关系，可以得到

(3.5a)

和

(3.5b)

式中：为第m个结构模态的阻尼比；ωm为第m阶结构模态的固有频率；Q为广义力向量，可以根据所施加的力得到，即

(3.6)

式中：f（x0）=Fδ（x-x0）；F为外激励力的振幅；x0为激励力的位置。

通过式（3.5a）、式（3.5b）和式（3.6）、式（3.3）可以重新表示为

(3.7)

和

(3.8)

式中：μ为对角模态质量矩阵；Ω为固有频率的对角矩阵；ξ为对角阻尼比矩阵。

假设有一个传感器位于x=xs处。则输出方程如下：

1）位移传感器。

(3.9)

2）速度传感器。

(3.10)

3）加速度传感器。

(3.11)

需要指出的是，选择模态坐标作为状态变量通常会得到最小数量的状态变量。

假设x0=xs，可以获得同位的作动器、传感器响应。图3.4是对固支梁作用一个点力和使用速度传感器得到的频率响应函数（Frequency Response Function，FRF）。对于同位的传感器和作动器对，在两个连续的共振之间仅存在一个反共振，如图3.4（a）所示。在Bode图中，在每个固有频率处出现一个180°的相位滞后，而且相位总是在90°和-90°之间振荡，是零点和极点相间排列的结果。图3.3（b）是系统的奈奎斯特曲线。很容易发现同位的传感器/作动器对于速度反馈控制无条件稳定，因为对于任意的增益G曲线永远不会包围（-1，0）点。

必须指出的是，在相同的空间坐标配置作动器和传感器，并不能保证实现作动器、传感器的同位置。例如，在有限长管道内布置一扬声器和麦克风，如图3.6所示。从扬声器的电压输入到麦克风的输出的频率响应如图3.7所示，奈奎斯特曲线如图3.8所示。由于扬声器的内部的动态变化，频率响应的相位与同位布置的情形明显不同（在-90°和90°之间）。根据奈奎斯特曲线，也可以发现扬声器和麦克风并不满足同位置，因为对于较大的增益曲线会包围奈奎斯特点（-1，0）。

另一方面没有必要为了实现同位布置而在同一空间坐标配置作动器和传感器。例如，考虑一个固支-自由梁，其上布置三角形的PVDF薄膜，如图3.9所示。PVDF的输出电荷Q可以表示为如下的形式（将在下一节讨论压电材料的具体方程）

(3.12)

式中：h和hf分别为梁和PVDF传感器的厚度；e31是PVDF传感器的应力、电荷系数；w（x）是梁的位移；F（x）是PVDF薄膜形状的函数。

对式（3.12）进行两次分部积分，可得

(3.13)

对于如图3.9所示的三角形PVDF薄膜，其形状函数可以表示为

F(x)=a(Lx-x)

(3.14)

式中：α为实常数，且αLx<梁的宽度Ly。

根据式（3.14），很容易得到

(3.15)

在固支端从而有

(3.16)

将式（3.15）和式（3.16）代入到式（3.13），可以得到

(3.17)

根据式（3.17），可以发现三角形的PVDF的输出电荷信号Q与梁的尖端位移w（Lx）成比例。PVDF传感器和梁尖端的点力满足同位要求，虽然二者完全不同。