3.1 正弦交流电基本概念

电路中电流及电压等物理量，就其随时间变化规律来看，主要分两大类：一类是直流电，其大小和方向都不随时间变化；另一类是交流电，其大小和方向都随时间做周期性变化，且在一个周期内，其平均值为零。在交流电中，正弦交流电应用最为广泛，其大小随时间按正弦规律变化，其波形如图3.1.1所示。

以正弦交流电源为激励，正弦交流电流过的电路称为正弦交流电路。下面叙述的交流电和交流电路，如无特殊说明，通常指正弦交流电和正弦交流电路。

正弦交流电之所以获得广泛应用是因为：第一，交流电容易产生、转化和传输，即交流发电机构造简单、性能良好、效率高。交流电使用变压器改变电压大小，既能方便经济地实现远距离输电（升高交流电压），又能保证用电安全（降低交流电压）。第二，利用电子整流设备可以很方便地将交流电转化成直流电。第三，从分析计算角度看，正弦周期函数是最简单的周期函数。其他非正弦周期电量均可按傅里叶级数分解为直流分量及不同频率的正弦分量之和。因此，只要掌握正弦电路的分析方法，就可以用叠加定理去分析线性非正弦周期电流电路。

3.1.1 正弦交流电三要素

正弦交流电的物理量数值随时间按正弦规律变化。图3.1.1所示为正弦交流电流i的波形，其对应的数学表达式为

式（3.1.1）称为正弦电流瞬时值表达式。利用瞬时值表达式可以计算任一瞬时该正弦电流的数值。该式表明，可用频率f（周期T或角频率ω）、幅值I_m和初相位φ表示正弦交流电特性，这三个量称为正弦交流电三要素。

正弦交流电变化的快慢可用周期、频率或角频率来表示。

1.周期T

正弦量变化一个循环所需要的时间称为周期，用大写字母T来表示，单位是秒（s）。

2.频率f

单位时间内正弦量变化的次数称为频率。用小写字母f来表示，单位是赫兹（Hz），1Hz=1周/s。根据上述定义可知，频率与周期互为倒数，即

在我国，发电厂提供的正弦交流电频率是f=50 Hz，周期T==0.02 s。这一频率称为工业标准频率，简称工频。世界上还有很多国家工频也是50 Hz，也有少数国家（如美国、日本）采用60 Hz工业频率。除了工业频率，其他领域采用不同频率。如电热方面，中频炉频率为500～8000 Hz，高频炉频率为200～300 kHz；无线电通信频率为30 kHz～30 GHz，有线通信频率为300～5000 Hz。

3.角频率ω

正弦量变化的快慢用角频率ω来表示。正弦量变化一周相当于变化2π弧度，角频率ω就是正弦电量在单位时间（1s）内变化的角度，即

角频率单位是弧度/秒（rad/s），工频交流电的角频率是314rad/s。

如图3.1.1所示交流电波形图，其横坐标轴既可以用时间t（s）来表示，也可以用电角度ωt来表示，一个周期时间T与2π弧度相对应。

3.1.2 正弦交流电相位差

1.相位和初相位

正弦交流电表达式中，ωt+φ叫作交流电的相位角，简称相位。它反映正弦变量随时间变化的进程，决定它在每一瞬时的状态。当t=0时，正弦电量的相位角φ称为初相角，又称初相位，它是确定交流电初始状态的物理量。由于正弦电是周期性变化的，所以初相角一般都在绝对值不超过π的范围内取值，取|φ|

≤π。

2.相位差

在同一线性电路中，若电源都是同频率正弦交流电，则各支路电流、电压也都是同频率的正弦电。但它们随时间变化的进程不同，为了描述同频率交流电随时间变化的进程，引入相位差概念。

两个同频率正弦交流电的相位之差称为相位差，用字母φ来表示。例如，正弦电压u=U_msin（ωt+φ_u），正弦电流i=I_msin（ωt+φ_i），则u与i相位差为

可见，两个同频率正弦交流电的相位差就是它们初相位之差。

假设有两个同频率正弦量u和i初相位分别是φ_u和φ_i，则两个同频率正弦量的相位关系有如下几种情况。

1）当φ_u>φ_i时，相位差φ=φ_u-φ_i>0，波形如图3.1.2a所示。从波形图可见，u总是比i先达到零点和正的最大值，即u的变化领先于i，称u在相位上超前i一个相位角φ，或者说i滞后于u一个相位角φ。

2）当φ_u<φ_i时，相位差φ=φ_u-φ_i<0，波形如图3.1.2b所示。此时u滞后i一个相位角φ，也就是i超前于u一个相位角φ。

3）当φ_u=φ_i时，它们之间相位差为0，波形如图3.1.2c所示。此时u和i变化一致，同增同减，即同时达到正弦电量的零点和正、负最大值，称u和i同相。

4）当φ=φ_u-φ_i=±π时，波形如图3.1.2d示，此时u与i的相位相反，称为反相。

通过分析可知，当选择不同计时起点时，正弦交流电的初相角会不同，但是两个同频率正弦量之间的相位差则与计时起点无关。特别强调：不同频率正弦量之间没有确定的相位差，也无法确定它们之间的超前或滞后关系。因此，讨论它们之间的相位差没有意义。

3.1.3 正弦交流电有效值

正弦量大小通常用瞬时值、最大值和有效值三个物理量来表示。

1.瞬时值

瞬时值是指某一时刻正弦量的大小，用小写字母表示，如i、u等，它们都是时间函数。

2.最大值

最大值是指正弦量在一个周期中的最大瞬时值，它是交流电波形的振幅，通常用大写字母并加注下标m来表示，如I_m、U_m等。

3.有效值

交流电i和直流电I分别流过阻值相同的电阻，如果在一个周期内它们所产生的热量相等，即其热效应相等，就称该直流电流数值是交流电流的有效值。交流电有效值用大写字母I、U表示。在实际应用中，用瞬时值或最大值来表示交流电在电路中产生的效果既不确切，又不方便，通常使用“有效值”来表示正弦交流电的实际效果。

正弦交流电i流过电阻R时，在一个周期T内消耗的电能为

直流电流I在相同时间内消耗的电能为

W=PT=I²RT

根据定义，两者产生的热量相等，即

由此得到正弦交流电有效值为

由式（3.1.5）可知，交流电有效值又称为均方根值。需要指出，式（3.1.5）不仅适用于正弦电，而且适用于任何交流电有效值的计算。

对于正弦交流电流i=I_msin（ωt+φ_i），根据式（3.1.5），可算出电流有效值为

以上关系同样适用于计算正弦电压的有效值，即

正弦电有效值分别是其最大值的或0.707倍。

在实际应用中，一般说的交流电量的大小，都是指它的有效值。如民用交流电压是220V，低压动力电压是380V，均为有效值。各种交流电机、电气设备铭牌标注的电压、电流数值以及交流电压表、电流表示数等都是有效值。一般只有在分析电气设备，如电路元件耐压绝缘能力时，才用到最大值。因为电气设备，如晶体管、电容器等电子元器件都有一定的耐压值，当工作电压超过耐压值时，就会使设备或元器件绝缘材料被击穿损坏，所以在交流电路中工作的电气设备和元器件，其耐压值应当按高于交流电压最大值来选择。

特别提示

对正弦量的数学描述可采用sin函数或cos函数，本书统一规定采用sin函数。在进行交流电路分析和计算时，同一电路中的电压、电流和电动势只能有一个共同计时起点，所以通常用其中任一正弦量的初相位为零的瞬间作为计时起点，初相位为零的正弦量就称为参考正弦量，其他量的初相位就不一定为零。初相位和相位差的主值区间为［-π,+π］。

【练习与思考】

1）已知u_ab（t）=100sin（t以s为单位），指出u_ab的幅值、有效值、周期、频率、角频率及初相位，并画出波形图。

2）已知u₁（t）=30sin（ωt+90°）V，u₂（t）=25cos（ωt-45°）V，u₃（t）=20sinωtV，试画出它们的波形图，并比较它们的相位。