2.5 地心天球坐标系之间的关系

表2.1给出了上述四种天球坐标系的球面坐标和直角坐标的情况。

表2.1 四种天球坐标系

在实际的工作中，往往已知天体对于某一坐标系的坐标，需要计算它对于另一坐标系的坐标，因此就要进行坐标的转换。具体解法将分成两大类：一是利用球面三角有关公式求解；二是利用直角坐标转换关系求解。

2.5.1 地平坐标系和时角坐标系之间的转换

地平坐标系和时角坐标系之间的关系与天文纬度φ有关，如图2.16所示。

已知天体σ的地平坐标为（A，z），求相应的时角坐标（t，δ）。如图2.16所示，O—XYZ为地平坐标系，O—X′Y′Z′为时角坐标系的，它们都是左手坐标系的，O—XYZ绕Y轴旋转-（90°-φ）转换到O—X′Y′Z′，因此有

将式（2.46）和式（2.47）代入上式，有

即

式（2.52）也可以利用图2.16所示的天极P、天顶Z（注意，这里Z表示天顶，也表示Z轴）和天体σ构成的球面三角形PZσ及球面三角公式求得。

图2.16 地平坐标系与时角坐标系之间的关系

在球面三角形PZσ中，、、、∠PZσ=90°-A、∠ZPσ=t。

根据边的余弦公式可得

cos（90°-δ）=cos（90°-φ）cosz+sin（90°-φ）sinzcos（180°-A）

即

根据正弦公式可得

即

根据球面三角形五元素公式可得

sin（90°-δ）cost=coszsin（90°-φ）-sinzcos（90°-φ）cos（180°-A）

即

只要已知观测者的天文纬度φ，就可以应用式（2.53）～式（2.55）由（A，z）唯一地确定（δ，t）。

2.5.2 赤道坐标系和时角坐标系之间的转换

赤道坐标系和时角坐标系之间的关系与春分点♈的时角t_r有关，如图2.17所示。

图2.17 赤道坐标系与时角坐标系之间的转换

已知天体σ的时角坐标为（t，δ），求相应的赤道坐标（α，δ）。如图2.17所示，O—XYZ为时角坐标系，O—X′Y′Z′为赤道坐标系，Z轴、Z′轴均指向北天极P。但时角坐标系是左手坐标系，而赤道坐标系是右手坐标系，X轴指向Q，X′轴指向春分点♈。先将Y轴反向，然后将O—XYZ绕Z轴旋转-t_r，使X轴和X′轴重合转换到O—X′Y′Z′，所以有

式中，P₂为Y轴反向的转换矩阵。可得

即

即

cosα=cost_rcost+sint_rsint=cos（t_r-t）

也即

2.5.3 黄道坐标系和赤道坐标系之间的转换

黄道坐标系和赤道坐标系之间的关系与黄赤交角ε有关，如图2.18所示。

设天体σ的赤道坐标为（α，δ）、黄道坐标为（λ，β）。如图2.18所示，O—XYZ为赤道坐标系，O—X′Y′Z′为黄道坐标系，它们都是右手坐标系，O—XYZ绕X轴旋转ε转换到O—X′Y′Z′，所以有

即

即

式（2.59）也可以利用图2.18所示的天极P、黄极K和天体σ构成的球面三角形PKσ求得。在球面三角形PKσ中，已知、、、∠KPσ=90°+α、∠PKσ=90°-β，具体推导过程从略。

类似可以求出其他坐标系之间的关系。表2.2给出了天球坐标系之间的转换关系。

图2.18 赤道坐标系与黄道坐标系之间的转换

表2.2 天球坐标系之间的转换关系

注：方位角从南点起算。