6.2　矩阵分解推荐算法的算法原理

前面只是很形式化地描述了矩阵分解算法的核心思想，本节详细讲解如何将矩阵分解问题转化为一个机器学习问题，从而方便我们训练机器学习模型、求解该模型，具备最终为用户做推荐的能力。

假设由所有用户有评分的(u,v)对（u代表用户，v代表标的物）组成的集合为A，即，通过矩阵分解将用户u和标的物v嵌入k维隐式特征空间的向量分别为

那么用户u对标的物v的预测评分为，真实值与预测值之间的误差为。预测得越准||Δr||，越小，针对所有(u,v)对，如果我们可以保证这些误差之和尽量小，那么有理由认为我们的预测是精准的。

有了上面的分析，就可以将矩阵分解转化为一个机器学习问题了。具体地说，我们可以将矩阵分解转化为如下等价的求最小值的最优化问题。

其中λ是超参数，可以通过交叉验证等方式来确定，||p_u||²+||q_v||²是正则项，避免模型过拟合。通过求解该最优化问题，我们就可以获得用户和标的物的特征嵌入（用户的特征嵌入p_u，就是上一节中用户特征矩阵U_n×k的行向量，同理，标的物的特征嵌入q_v就是标的物特征矩阵V_k×m的列向量），有了特征嵌入，就可以为用户做个性化推荐了。

那么剩下的问题就是怎么求解上述最优化问题了，这是下一节主要讲解的内容。