071 1674年 星形线

罗默（Ole Christensen Rømer,1644—1710）

这是用艺术手法呈现许多椭圆“外廓包络线”所产生的星形线（就几何学而言，许多曲线的包络线，其定义就是一条与每条曲线都相切于一点的外廓曲线）。

蔓叶线（约公元前 180 年），心脏线（1637年），奈尔类立方拋物线的长度（1657年），勒洛三角形（1875年）及超级椭圆蛋（约1965年）

星形线是一个具有四个歧点的曲线，只要大圆的直径是小圆的四倍，并追踪像齿轮般沿着大圆圆周内部滚动的小圆圆周上某一定点轨迹，就能描绘出星形线。各路学有专精的数学家都想找出星形线的奇异特性，使得星形线声名大噪。丹麦天文学家罗默在 1674 年为了找出更有用的齿轮齿外形，开始针对星形线进行研究，之后，包括瑞士数学家约翰·伯努利在 1691 年、德国数学家莱布尼兹在 1715 年、法国数学家达朗伯特在1748 年都曾醉心研究过星形线。

星形线的方程式写成 x2/3+y2/3=R2/3，其中 R 是固定外大圆的半径，R/4 就是在内部滚动的小圆半径。星形线的弧长是 6R，面积是 3πR2/8，有趣的是，虽然产生星形线的方式跟圆脱不了关系，但是，星形线周长 6R 却跟圆周率 π 一点关系也没有。

数学家丹尼尔·伯努利在 1725 年发现，如果在固定的大圆内部滚动一个直径只有大圆本身 3/4 的小圆时，同样也可以画出星形线；换句话说，画出来的图形就跟滚动另一个更小、直径只有固定大圆 1/4 的小圆一样。

物理学上的斯通纳—沃法尔斯星形线被用来描述能量与磁学的诸多特征；美国专利编号第4 987 984号叙述星形线在机械滚动离合器上的运用方式：“星形线分散压力的效果跟相对应的圆弧曲线一样好，可是却可以减少凸轮材料的使用，提供更坚强的结构。”

值得注意的是，星形线所有延伸出去到与 x 轴或 y 轴相交的切线，其长度通通一样；你可以在脑海中想象用各种角度把梯子靠在墙壁上的画面，这也是一种画出部分星形线的方法。■