047 约1500年 圆周率 π 的级数公式之发现

莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646—1716）格列固里（James Gregory,1638—1675）索马雅吉（Nilakantha Somayaji,1444—1544）

圆周率 π 可以像图中这样以十进制小数无止境地表达下去，也可以用一条著名而简单的算式π/4=1-1/3+1/5-1/7+…表达。

圆周率 π（约公元前 250 年），季诺悖论（约公元前 445 年），发散的调和级数（约1350年）及欧拉—马歇罗尼常数（1735年）

在数学领域中相当重要的无穷级数，指的是无穷多个数的和，比如 1+2+3+…这个和为无限大的无穷级数称之为发散。交错级数则是指每隔一项数字即为负值的无穷级数，以下将介绍一个让数学家钻研好几世纪的交错级数。

以拉丁字母 π 标记的圆周率，其定义是一个圆的周长相对于其直径的比，可以用一条奇妙精简的方程式表达：π/4=1-1/3+1/5-1/7+…。另外值得注意的是，三角函数中的反正切函数也可以用类似的式子加以表达：arctan（x）=x-x/3+x/5-x/7+…；只要取 x=1，就可以从反正切级数得到 π 的级数。

罗伊（Ranjan Roy）曾表示：“……住在不同地区，生活在相异文化环境下的不同人……分别各自发现圆周率π的级数公式，此一现象……让我们一窥数学穿越宇宙时空通行无碍的特性……”包括德国数学家莱布尼兹，苏格兰数学家暨天文学家格列固里都发现了圆周率 π的级数公式，另一位大约生于十四五世纪，身分无法完全确认，但通常被认定是索马雅吉的印度数学家，也发现了这一结果。莱布尼兹和格列固里分别在 1673 年和 1671 年发现圆周率π 的数列方程式，罗伊认为“圆周率 π 的级数公式之发现是莱布尼兹最伟大的一项成就”，荷兰数学家惠更斯（Christiaan Huygens）告诉莱布尼兹这则与圆特性有关的重大发现，将永远被数学家所推崇，就连牛顿也都认为找出这条方程式，就足以证明莱布尼兹是位天才。

虽然格列固里比莱布尼兹更早发现反正切函数公式，可是他却没注意到 π/4 正好是公式的其中一个特例。无穷级数之一的反正切函数也曾经在索马雅吉于1500 年出版的《坦特罗概要》（Tantrasangraha，坦特罗为密宗的一支）中，索马雅吉甚至已经知道不可能用有限的有理数级数表达圆周率 π。■