016 约公元前440年 月形求积

希俄斯的希波克拉底（Hippocrates of Chios，约公元前470—约公元前400）

直角三角形两边延伸出两个月形（图中黄色新月形部分）面积的总和，恰好与直角三角形的面积相等。古代希腊数学家总醉心于探索这一类几何图形的优雅之处。

勾股定理与三角形（约公元前600年），欧几里得的《几何原本》（公元前300年），笛卡儿的《几何学》（1637年）及超越数（1844年）

古代希腊数学家深深着迷于几何的美、对称与井然有序。顺着这股热情，希俄斯的希腊数学家希波克拉底为我们演示如何作一个正方形，使其面积等于一个给定的月形。所谓的月形是指一块新月形的区域，是由两个内凹的圆弧所组成，而所谓“月形求积”则是已知最早的数学证明题之一。换句话说，希波克拉底成功地把弧线构成的月形面积，以直线形面积，即“求积”来表达。如同插图中所举的例子，直角三角形两边延伸出去两个月形，其面积和就和这个直角三角形一样。

对古希腊人而言，“化为直线形面积”就表示可以只用直尺和圆规两种工具，针对某一给定的区域，画出一个面积相等的方形。一旦可以顺利完成标尺作图的话，这种区域就称之为“可方形化”。希腊人可以轻易把多边形化为方，但是，曲线的构图显然困难许多。事实上如果以直觉反应的话，要把曲线的物体转化成方形，看起来就像是不可能的任务一样。

几乎早欧几里得整整一世纪汇整出一套目前已知最古老的几何学，是希波克拉底另一件著名的事迹，欧几里得在他自己那本《几何原本》（Elements）中也可能引用了一些希波克拉底的观点。希波克拉底作品的重要性在于提供一个共通的架构，好让其他数学家可以接手进行后续的扩充。

希波克拉底的月形谜题，其实是“化圆为方”这个大问题中的一部分，意思是设法画出一个方形，使其面积跟一个已知圆的面积相等。数学家花费超过两千多年的时间想要解决“化圆为方”的问题，直到林德曼（Ferdinand von Lindemann）在 1882 年才证明这真的是不可能完成的一件事。我们现在知道只有五种月形可以化为方形，其中三种就是借由希波克拉底之手完成证明，其余两种则要等到 18 世纪 70 年代中期才完成证明。■