不可交换的矩阵乘法

在中学教科书中，已经引进了矩阵的概念。所谓矩阵，就是将n×m个数排成n行m列的矩形列阵，通常用一对圆括号将其括起来，也常常用一个大写字母表示矩阵，如

就是一个2行3列的2×3矩阵。

矩阵主要用来处理一些有关联的数据，比如在处理财务报表、实验数据、统计数据时经常会遇到。比如，表1显示的是某连锁商业公司各门店的销量统计表。

表1 （单位：件）

表1就可以表示成一个2×3矩阵。

19世纪中叶，英国数学家凯利（Arthur Cayley,1821—1895）系统建立了矩阵理论，规定了矩阵的算术运算。矩阵的加法比较简单，两个矩阵有相同的行数和列数，则它们的和就是对应位置的元素相加所得到的矩阵，例如，两个2×2矩阵相加为

矩阵乘法的规定有些奇怪，两个矩阵相乘，要求前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数相等，而其积在第i行、第j列的元素等于第一个矩阵的第i行和第二个矩阵第j 列对应位置元素相乘再求和所得。例如，两个2×2矩阵的乘积为

和代数中用ab表示乘法a×b一样，矩阵乘法中的符号×通常省略不用。

表2 （单位：元）

一些初学矩阵的人不太理解矩阵乘法：为什么矩阵乘法规定得如此古怪，而不是像加法一样将对应位置的元素相乘呢？其实，这样定义的矩阵乘法更符合实际需要。以上面的商业公司为例，假设某门店销售商品A计80件，每件商品单价为20元，则计算该门店销售商品A的营业额要用乘法，为80×20＝1 600（元）。现在考虑该公司多个门店以及销售多个商品的情况。除前面的销量表外，如果还有如下的商品单价和单位利润表（见表2），则各门店的营业额和营业利润如下：门店1，营业额＝80×20+25×100+120×15＝5 900（元），利润＝80×5+25×20+120×4＝1 380（元）；门店2，营业额＝45× 20+30×100+85×15＝5 175（元），利润＝45×5+30×20+85× 4＝1 165（元），则有如表3所示的营业额和利润表格。

表3 （单位：元）

表3用矩阵表示，即为

矩阵乘法这样定义的一个更重要的因素是来自数学中的线性变换。假设有如下变量之间的关系：

将②式代入①式，有

这些变换可以用矩阵来表示，变换①, ②, ③分别可表示为

以及。

，和分别称为变换①, ②, ③的系数矩阵，可见③式的系数矩阵就是①, ②式系数矩阵的乘法，即

可见，这样规定矩阵乘法既是实际计算的需要，也是数学理论的需要，是十分自然的。

矩阵乘法还有一个比较奇怪的性质。众所周知，两个数a与b相乘，总有a×b＝b×a，这就是乘法交换率。但对于矩阵乘法，若以A, B表示两个矩阵，通常A×B与B×A并不相等。以上面的系数矩阵为例：

这就是说，矩阵乘法与相乘的两个矩阵的前后次序有关。

矩阵乘法的不可交换性也说明变换和其次序有关。旋转是一种变换，可以用矩阵来表示，比如在空间坐标系Oxyz中，绕x轴旋转90°和绕z轴旋转90°的系数矩阵分别为

显然，先绕x轴旋转90°、再绕z轴旋转90°与先绕z轴旋转90°、再绕x轴旋转90°的结果是不同的，而前者的系数矩阵为

后者的系数矩阵为

两者也不相同。

矩阵乘法的不可交换性这一点与数的乘法完全不同，乘法交换律是如此地理所当然，以至于遇到不可交换的矩阵乘法时让人们心存疑惑。然而，不可交换的矩阵乘法在量子力学的创建中发挥了重要作用。

图1

1925年前后，基于经典力学的旧量子论已经走到末路，客观上需要新的理论来取代。1925年夏，时年24岁的 海 森 堡（Werner Heisenberg, 1901—1976，见图1）为躲避花粉过敏来到赫尔格兰（Helgoland）岛，在岛上，海森堡以其天才的创造力构建了一套全新的量子理论。然而，他的新理论却必须借助一种奇怪的乘法，这种乘法的结果取决于相乘的次序，即A×B-B×A未必是0，这一点困扰着海森堡。海森堡从赫尔格兰岛回到哥廷根，将其论文交给他的老师玻恩（Max Born,1882—1970）。终于有一天，玻恩想起曾经学过的矩阵乘法，原来，海森堡用到的乘法正是矩阵乘法。尽管矩阵理论早在半个多世纪前已经建立，矩阵乘法对数学家来说已经毫不奇怪，但对于大多数物理学家来说还是个新鲜事。后来，玻恩与其学生约旦（E.P.Jordan）和海森堡一起，用矩阵论完善了海森堡的理论，后人称其为矩阵力学，这正是量子力学的重要组成部分。海森堡因其在创建量子力学理论中的重要贡献，于1932年获得诺贝尔物理学奖。

复旦大学数学科学学院 邱维元