第三节 基于分形理论的水土资源系统复杂性研究进展

一、分形理论的发展历程

分形理论是1970年兴起并迅速发展起来的新兴学科之一。它与混沌、孤波共同构成了非线性科学研究的主要内容和前沿问题，自创立以来不断发展壮大。1981年，分形理论迎来了它发展的辉煌时期，美国科学家T.A.Witten和L.M.Sander在《物理评论快报》发表了关于扩散置限凝聚模型（DLA）的论文，开创了研究“分形生长”的热潮，促进了数学、物理、化学、生物、材料科学和地质等学科对“分形”的研究，使分形学科不断向深度及广度方向发展^［38］。

1988年至今，“分形”进入了深入研究与开拓发展并举的阶段^［39］，在这个阶段里，分形得到不断发展和应用，研究对象也开始逐步细化。从分子DNA特性^［40］、蛋白质三维结构的复杂性^［41］到地震地磁特征^［42］，从金融证券市场的经济波动^［43］到企业系统的管理^［44］都留下了分形的身影。此外，吴越从分形的概念开始，论述了分形与混沌的关系，初步探讨了城市规划领域中区域规划、城市功能结构规划、城市生活空间形态的分形特征，提出了运用分形理论思考城市规划发展问题的新思路^［45］；任光明采用基于分形的直接递归算法模拟植物生长过程^［46］。方文清利用变维分形分布模型，对我国的航空货物运输量进行预测^［47］，这些都极大地扩展了分形理论的应用范畴。

随着分形几何不断发展，分形理论的研究使得一些难于前进的老学科有了新的希望。分形思想在赋予人们新的创造性思维和创新源泉的同时，也急需人们对已有的微积分理论做出根本性的改变，创立分数阶的微积分理论，以满足当代自然科学前沿课题的理论要求^［48］。到目前为止，分形的理论基础还没有形成正式的思想体系，对于理论的应用还主要集中于分维图形的分维统计、Hausdorff维数、关联维数等相关的维数计算上；相关的分形测度、分形插值、分形布朗运动等方向的研究成果很少；更为深入的多重分形谱的计算及分形动力学研究更是少之又少；对于统计分形和随机分形的理论和应用研究将是非常值得探究的方向^［49］。

二、水文分形理论研究进展

分形理论作为研究非线性系统的重要工具，不断取得研究的突破性进展。近年来，随着分形理论向各个学科的深入，其在水文及水资源研究领域中也有诸多成果问世。常福宣等经过系统研究提出水文水资源领域应用分形理论的几个主要方面：降水量时空分布；暴雨、洪水不同时空变化；流域地形地貌演变与河网水系关联；径流过程分形特征；河床表面特征；土壤中水分下渗等^［50-51］。

1932年，Horton对河网级次划分的研究，应用Horton定律^［52］证明流域的河网是具有自相似特征的分形集。这也是将分形理论应用于水系河网和地形地貌特征研究的最早案例。这项研究为近二三十年来运用分形理论对流域河网结构和流域地貌特征展开研究奠定了坚实的理论基础^［53-54］。Rodriguez-Iturbe等，把最优河道网络与天然流域的DEM进行对比研究，发现水系河网结构和流域地貌具有分形特征^［55］。

金德生对黄河下游及长江中下游深泓纵剖面进行了分形粗视化研究，发现其具有分形特征，分维与河床纵坡降和能量有关，并利用分维刻画河流纵剖面发育的复杂程度^［56］。针对河道的表面形态的分形特征，Murray应用元胞自动机模型及自组织临界性解释河流演变过程的分形特征^［57］。

在研究降雨时空分布的过程中，水文学家主要对其进行分形分析，计算其分形维数或多重分形谱；在洪水随历时变化规律的研究方面，常福宣等关于洪水空间分布的研究作了开创性的工作，获得了有意义的结果并建立了洪水强度历时公式^［50］。

关于径流过程时间分配的研究，相关学者不但计算过径流过程的分形维数，而且从时间序列的角度建立了时间序列模型。1999年，丁晶和刘国东用盒子数法计算了汛期日流量过程线的分形维数^［58］。常福宣利用金沙江屏山站和岷江紫坪铺站日径流资料，全面分析了日径流过程的分形特性，提出必须应用多重分形法来研究径流过程特征^［50］。

应用分形分析土壤水和下渗过程是目前研究的一个热点，Tchigurinskaia等曾分析了湿地地形的各种分形性质，提出多种模拟方案^［59］。此外，人们对土壤水、下渗和地下水的尺度，即对产汇流过程的影响也进行了深入研究^［60］。

三、土地利用分形理论研究

近年来，分形理论在土壤科学研究中运用较多，尤其是对土壤结构性质及土壤水分运动参数的研究日渐成熟^［61］。大量的研究成果证实：土壤孔隙度，粒径分布，孔隙连通状况等能够反映土壤结构状况的主要参量，都具有很好的分形特征^［62］。

地质沉积物颗粒数量与每一沉积物颗粒半径之间呈现典型的分形分布特征，Turcotte等根据这一土壤组成的粒径分布关系仔细研究了21种质地差异很大的土壤样本，并发现了土壤粒径累计分布所呈现的幂指数关系^［63］，结合1965年Gardner从200多种土样的颗粒直径分布拟合关系中得到的结果，明确指出指数D即为颗粒直径分布的分维值^［64］。杨培岭等以北京为例，选取区域内四种不同土壤为研究对象，通过对不同土壤的颗粒直径分形分布特征进行研究发现，土壤中的黏粒比重以及不同粒级颗粒的分布情况会严重影响D值大小，也就是说，此时再利用单一维数就不能全面地反映土壤的质地情况了^［65-66］。

通过对土壤结构的不断研究，人们逐渐发现土壤的孔隙结构也可以用分形很好地进行解释^［67-68］。Anderson等将分形思想应用于土壤孔隙研究，由此表明土块或土壤团粒的结构可以用分形维数进行定量表征^［69］。Horgan在10^-9～10^-1m的尺度内，通过图像分析方法对土壤进行切片分析，发现粉砂质土壤无论在质量还是表面积方面都表现出明显的分形特征^［70］。Y.Zeng等通过CT技术证明了孔隙度的分形特征的存在性^［71］。Young和Crawford等采用图像分析方法研究了6种土壤的孔隙度与孔隙大小之间的分形关系，发现在不同耕作时期，分形维数大小有所差异，但整体上D_m的值介于2.75～2.39^［72］。通过大量的实验研究结果表明：土壤孔隙度和土壤表面积具有的分形特征与土壤粒径的分形特征是一致的^［73］。另外，研究土地资源复杂性方面，吴次芳、陈美球等运用复杂性科学理论，阐述了土地生态系统的多种复杂性特征，如高维性、多层次性、各子系统关联性等，这其中既包括了功能与结构的不确定性，动态性，自组织性和自适应性等相关复杂性特征，也深入探讨了人工神经网络、混沌及分形理论在研究土地—生态系统的复杂性特征中的应用^［74］。将复杂性研究思路运用到土地—生态系统的研究中，既有利于帮助人们认识土地生态系统和正确处理人地关系，也对实现土地资源的可持续利用具有重大现实意义。