第一节 水力机械特征方程的导出

一、水轮机特征方程的导出

由水轮机的基本工作原理，得到水轮机的流量方程为

式中：Q为水轮机流量，m³/s；H为水轮机的工作水头，m；r₂为水轮机转轮出口过水断面平均半径，m；ω为水轮机转动角速度，rad/s；η为水轮机效率，%；g为重力加速度，m/s²；F₂为水轮机转轮出口过水断面面积，m²；α₀为导水机构活动导叶出口液流角，（°）；β₂为转轮出口液流角，（°）；b₀为导叶高度，m。

由水轮机单位参数定义有

将式（2-2）和式（2-3）代入式（2-1），又考虑到，可以得出新的水轮机流量特性方程，即

将式（2-4）进行一定的整理，可以得出

其中

对于混流式水轮机，在某一开度下，导水机构活动导叶出口液流角α₀ 可以看作常数，转轮出口液流角β₂ 也基本不变，这样，由式（2-8）和式（2-9）定义的a、b可以看作常数，也就是说，由式（2-6）和式（2-7）定义的y和x间存在式（2-5）所示的线性关系，这里将式（2-5）定义为水轮机的特征方程。

二、水泵特征方程的导出

前面导出了水轮机的特征方程，下面导出另一类型的水力机械——水泵的特征方程。由于在本书的后续篇章中，基本上是独立地介绍特征方程在水轮机和水泵中的应用，因此，在下面公式的推导中，水泵的某些参数所用的符号，与水轮机有个别相同之处。这样处理，是为了简便写作过程，而不影响对本书所介绍内容的理解。

根据水泵的单位工作参数方程，得到水泵的水力效率公式为

其中

由水泵单位参数的定义有

将式（2-11）和式（2-12）代入式（2-10）中并整理，可得水泵的水力效率为

以上各式中：H为水泵的扬程，m；Q为水泵的流量，m³/s；H″为水泵的无效率折引扬程，m；Q″为水泵的无效率折引流量，m³/s；D为水泵的叶轮直径，m；r₁为叶片进口边平均半径，m；r₂为叶片出口边平均半径，m；β₀为叶栅零向角，（°）；δ₂为叶片出口边法线与轴面流线的夹角，（°）；k为叶栅透明系数；g为重力加速度，m/s²；n为水泵的转速，r/min；L₂为叶片出口边从上冠至下环或从前盖板至后盖板的曲线长度，m；l₂为叶片出口边长度，m；v_m1为叶片进口边轴面速度系数，1/m；v_m2为叶片出口边轴面速度系数，1/m；（rv_u）₁为叶片进口速度矩，m²/s。

将式（2-15）整理，得到

也就有

其中

对于水泵，几何参数r、l、L、k、β₀、δ仅跟叶轮的几何形状有关，流动参数v_m1、v_m2、（rv_u）₁、（rv_u）₂与进出口边的位置和运行工况有关，而各工况下的流动参数v_m1、v_m2、（rv_u）₁和（rv_u）₂变化并不大，即认为水泵单位工作参数方程系数A′、B′在各工况下保持恒值。这样式（2-20）和式（2-21）定义的a和b在某一工况下就可以看作是常数，也就是说，由式（2-18）和式（2-19）定义的y和x间存在式（2-17）所示的线性关系，这里将式（2-17）定义为水泵的特征方程。