2.6 单纯形积分^［147］

由于所生成的块体具有空间任意形态，这给块体物理特征量（如体积、质心、惯性矩等）的精确计算带来很多困难。为此，石根华提出一种新型解析积分方法——单纯形积分。目前，这种积分方法已经被成功应用于DDA、流形元法、DEM中，展现了传统数值积分方法不能比拟的积分优势。传统的有限元通常是对三角形网格、四边形网格或者四面体网格、六面体网格采用高斯积分求解；而单纯形积分是n维一般形状区域的精确解，积分对象可以是任何n维多边形。

2.6.1 单纯形上的单纯形积分

如前所述，单纯形在1，2，3，…，n维空间有最简单的形状（图2.30）。与普通积分不同，单纯形积分以单纯形作为积分域。单纯形也有正或负的方向，正负方向分别规定正负体积。

图2.30 0，1，2，3维单纯形示意图

（a）0维单纯形；（b）1维单纯形；（c）2维单纯形；（d）3维单纯形

0维单纯形是一个点P₀，它的体积是，0维单纯形积分可考虑为一个标准的实数。

1维单纯形P₀P₁是一个有向线段，它的体积是

单纯形P₁P₀的体积是单纯形P₀P₁的负体积。普通一维积分是单纯形积分，即

但是对于二维、三维及更高维的普通积分而言，它们是体积积分，其体积总是正的且积分区域是无向的。因此，积分和运算不是有向域的代数和运算。这必须引入单纯形上的单纯形积分，单纯形是一简单的有向区域。

2维单纯形P₀P₁P₂是一个有向的三角形（图2.30），它的体积是

单纯形P₁P₀P₂的体积是单纯形P₀P₁P₂的负体积：

2维单纯形积分定义为

已知多边形P₁P₂P₃P₄P₅P₆，其中P₆=P₁，这样则P_i从ox向oy同一方向转动。对于任何点P₀，2维单纯形体积（面积）P₀P₁P₂，P₀P₂P₃，P₀P₃P₄，P₀P₄P₅及P₀P₅P₁的代数和是多边形的面积A。

设P₀=（0，0），

图2.31 单纯形正或负面积的加法

在图2.31中，单纯形P₀P₁P₂，P₀P₂P₃，P₀P₃P₄及P₀P₄P₅的面积是正的；而P₀P₅P₁的面积是负的。代数和正好是多边形P₁P₂P₃P₄P₅P₆的面积。面积A则是边界顶点的坐标表示。因此，如多边形有n条边，则其面积可2n+1次相乘进行计算。

对一般的被积函数f（x，y），多边形P₁P₂P₃P₄P₅P₆的标准积分是单纯形积分的代数和：

3维单纯形P₀P₁P₂P₃是一个有向四面体，它的体积是

单纯形P₁P₀P₂P₃的体积是单纯形P₀P₁P₂P₃的负体积：

3维单纯形积分可定义为

由于单纯形的定义可扩展到n维空间，单纯形积分区域可从一个n维单纯形扩展到任何个n维单纯形有向区域。n维有向域V是一个标准n维有正负方向的多边形。

sign（J）项是行列式J的符号，它表示有向域J的方向。

一般有向域V上的单纯形积分有下面两个重要特性：

（1）如果作为有向域V=V₁+V₂，则

这是生成一维标准积分至多维积分的代数和法则。

（2）如果（x₁，x₂，x₃，…，x_n）是（u₁，u₂，u₃，…，u_n）的函数，有向域V相当于有向域U，则

其中，是一个雅克比J，不是绝对值。

2.6.2 2维单纯形积分

本节2维单纯形积分主要用于二维块体的积分和三维块体边界面的积分。因位移函数是坐标（x，y）的线性函数，被积函数是0次，1次，2次的。

一个2维单纯形有三个顶点：P₀，P₁，P₂

2维坐标单纯形有三个顶点：U₀，U₁，U₂

通过坐标转换式（u₁，u₂）→（x，y），将坐标单纯形U₀U₁U₂转换到标准单纯形P₀P₁P₂，即

雅克比行列式为

由于P₀P₁P₂是一非零体积的2维单纯形，J为非零。转换式可改写成（u₀，u₁，u₂）→（1，x，y），即

对于定义在2维单纯形P₀P₁P₂ 上的2维单纯形积分而言，可由标准积分与行列式的J的符号相乘确定：

此处，。

则2维单纯形积分能用下面单纯形积分的基本形式来表示：

i次分部积分后，内部积分可以算出：

在上面S₁的公式基础上，0次，1次，2次多项式的二维积分可以算出：

2.6.3 3维单纯形积分

本节的3维单纯形积分主要用于三维块体积分。因位移函数是坐标（x，y，z）的线性函数，被积函数是0次，1次，2次的。

一个3维单纯形有四个顶点：P₀，P₁，P₂，P₃

3维坐标单纯形有四个顶点：U₀，U₁，U₂，U₃

U ₀:(0,0,0),U₁:(1,0,0,0),U₂:(0,1,0),U₃:(0,0,1)

通过坐标转换式（u₁，u₂，u₃）→（x，y，z），将坐标单纯形U₀U₁U₂U₃转换到标准单纯形P₀P₁P₂P₃，即

雅克比行列式为

由于P₀P₁P₂P₃是一非零体积的3维单纯形，J为非零。转换式可改写成（u₀，u₁，u₂，u₃）→（1，x，y，z），即

对于定义在3维单纯形P₀P₁P₂P₃ 上3维单纯形积分而言，可由标准积分与行列式的J的符号相乘确定：

此处，。

则3维单纯形积分能用下面单纯形积分的基本形式来表示：

i次分部积分后，内部积分可以算出：

在上面S₁的公式基础上，0次，1次，2次多项式的3维积分可以算出：

2.6.4 一般多边形（或多面体）的单纯形积分

单纯形积分不是只能在单纯形上积分。显然，复合形形状总能被再分成单纯形，所以可对各个单纯形积分，其单纯形积分的总和是整个复合形上的原始积分。

一般来说，单纯形积分用不着将二维域再划分成三角形或将三维域划分为四面体就能计算普通积分，而有限元网格对单纯形积分是不需要的。用单纯形积分，任何n维多项式可采用一般形状的多边形边界顶点坐标来表示。

1.一般二维块体的单纯形积分

因单纯形积分总有雅克比J作为因子，而J是一个有向面积，积分在正面积上和负面积上可以抵消。设P₁P₂P₂…P_n且P_n=P₁，P_i=（x_i，y_i）表示一个二维多边形（即二维块体），其单纯形积分在P₁P₂P₂…P_n上可累加计算，具体见式（2.87）～式（2.92）。此处P₀可为任一点，简化处理P₀可取（0，0）。

2.一般三维块体的单纯形积分

式（2.77）～式（2.86）是四面体的积分式。把单纯形积分式（2.77）～式（2.86）累加，任何三维块体的体积或积分可算得。设：

轮流为一个块体的所有表面多边形。

该块体的体积由式（2.93）给出。用单纯形积分计算，积分式（2.93）～式（2.102）只用边界顶点的坐标来表示。