2.2 单纯形、单纯复合形与多面体^［136］

单纯形（又称单形）是代数拓扑中最简单的几何对象，而单纯复合形是欧几里得空间中的有限个单纯形按照“规则的”方式拼成的。单纯复合形的点所形成的、欧几里得空间的子空间叫做多面体。

在代数拓扑中，点、线段、三角形和四面体被称为单纯形，图2.1中给出了一些单纯形的例子。它们分别是0维单纯形（一个单独的点）、1维单纯形（以两个不同点为端点的闭线段）、2维单纯形（以不共线的三点为顶点的闭三角形）和3维单纯形（以不共面的四点为顶点的闭四面体）。由位于坐标原点和单位坐标轴上的点组成的单纯形被称作坐标单纯形［图2.1中（a）～（d）］，它们与三维欧氏空间中具有一般坐标的单纯形［图2.1中（e）～（h）］是拓扑同胚的。因此，一个n维单纯形具有n+1个顶点。

图2.1 三维空间中的0，1，2，3维单纯形

对于一个n维单纯形有：个l维单纯形。例如，3维单纯形中有：4个0维单纯形，6个1维单纯形，4个2维单纯形，1个3维单纯形。

假设S=（a₀，a₁，a₂，…，a_n）表示一个n维单纯形，其中（a₀，a₁，a₂，…，a_n）是此单纯形n+1个顶点的序列列表，（x_1i，x_2i，…，x_ni），（i=1，2，…，n）是顶点a_i的坐标。假设S^e=（a₀，a₁，a₂，…，a_n，1）是拥有一个额外顶点（1，1，…，1）的单纯形S的扩充，这n+1个矢量（x_1i，x_2i，…，x_ni，1），（i=0，1，…，n）形成一个线性无关的n+1维线性空间。此时，n维单纯形S的方向可以由线性空间S^e的行列式D（a₀，a₁，a₂，…，a_n，1）来确定，即

如果（-1）ⁿD（a₀，a₁，a₂，…，a_n，1）>0，则n维单纯形S的方向为正，否则为负。

设K是一个以n维欧几里得空间Rⁿ中的单纯形为元素的有限集合，如果K满足下列两个条件，则被叫做一个单纯复合形（简称复形）。

（1）K中任何一个单纯形的每个边（或面），也是K中的单纯形；

（2）K中任何两个单纯形的交集要么是空集，要么是它们的公共边（或面）。

复形K中的0维单纯形也称为K的顶点，1维单纯形也称为K的棱或边，K中单形的最大维数称为K的维数。对单纯复形K，其全体单纯形的全体顶点所形成的空间称为一个多面体，记作。K称为的一个单纯剖分。显然，一般多面体有不同的单纯剖分。

如果K中每一个单纯形都确定了方向，则复形K也确定了方向（即定向）。图2.2给出二维空间中具有7个顶点的多边形复形，单纯形和复形方向用箭头表示。

图2.2 一复形的单纯剖分

（a） K的单纯剖分；（b）单纯形的方向；（c）复形的方向

对于一个n维复形K，定义K中的m维定向单纯形s_i，（i=1，2，…，k），其线性组合叫做K的一个m维链 [可写作C_m（K）]。其中，c_i是m维链的实系数。1维链可以看作有向的折线。

在图2.1中，有向三角形的边界是一个1维链：a₀a₁+a₁a₂+a₂a₀，而一个2维链是有向四面体的边界：（a₂a₁a₃）+（a₀a₁a₂）+（a₀a₃a₁）+（a₀a₂a₃）。

链的概念对于定义和计算单纯形和复形的边界是非常有用的。如果s_r=（a₀，a₁，…，是一n维单纯形S=（a₀，a₁，a₂ ，…，a_n）不带顶点a_r的 （n-1）维边 （见表2.1），则这个单纯形的拓扑边界可定义为集合。那么，所有 （n-1）维边就可写作∂（a₀，a₁，a₂，…，a_n），符号∂叫做边界算子。表2.1列出空间Rⁱ中i维单纯形的拓扑边界。

对于一个n维复形K，其方向可由式（2.1）的行列式值来确定。通过向n+1维行列式增加1列元素为1的子式，此方向行列式变成：

其中，（-1）^r，（r=0，1，2，…，n）决定了n维单纯形S=（a₀，a₁，a₂，…，a_n）拓扑边界的代数系数（-1或+1），相应的n-1维链被称作此单纯形的代数边界。简单说，一个定向n维单纯形S=（a₀，a₁，a₂，…，a_n）代数边界可由它的n-1维单纯形总和给出，即

表2.2列出了空间Rⁱ中i维单纯形的代数边界。

对于空间Rⁿ中拥有M个有向n维单纯形S_i，（i=1，2，…，M）的复形K，其代数边界∂K被定义成所有n维单纯形的并集，即

图2.3为三维空间中一个有向复形K，由四个有向3维单纯形组成，即S₁=（a₀，a₁，a₂，a₅），S₂=（a₀，a₂，a₃，a₅），S₃=（a₀，a₃，a₄，a₅），S₄=（a₀，a₄，a₁，a₅）。这个复形的代数边界是2维单纯形的链，即2维链（图2.3），即

因此，对于这样的复形，其所有单纯形的边界是一个0维链，即

也就是，对于一个n维维复形K的（n-1）维链的边界也是一个0维链，即

图2.3 三维空间中的有向复形K

（a）4个单纯形的复形；（b）多面体的面的正方向（按右手螺旋准则）

于是，由式（2.6）和式（2.7）可知，对于图2.3中的复形K有：

式（2.7）反映了一个闭曲面的拓扑性质，即空间R³中的一个有向复形的有向边的和为零，否则，这个复形表示的是一个开曲面。