一、非线性规划和模糊数学应用

厂址选定中最小运输量计算模型和方法

1 问题提出

在许多产品生产中，通常是把原材料运到工厂制造或加工，然后把产品调运到用户。在此过程中，材料和产品都有一个运输量问题。从国民经济总体考虑，使得两者的总运输量达到最小或较小，往往是降低成本，节约能源的一项有效措施。例如，在甲地进行某产品制造，其主要原材料是来自较远的乙地，而大部分产品又返销回乙地，形成迂回倒运，是很不经济的，若在乙地或附近也有同样制造条件，一般来说，厂址选在甲地是不适当的，势必加大了产品成本和商品价格，更明显的是由于运输量增加而增加了能源消耗。故在确定这类产品的厂址时，应从全局出发，考虑总运输量为最小或较小这一因素。笔者在某工程中，遇到选择水工混凝土预制构件厂的厂址问题，经研究，按最小运输量选定了厂址，比原定厂址节省运输量58%，由此可见，这是值得注意的一个问题。

为使厂址选定得经济合理，往往还要考虑供水、供电、交通、劳动力、技术及生活等因素。若这些因素处于同等或相近情况，尽可能使原料和成品不出现大量迂回倒运现象，使得运输量为最小或较小。本文就如何使得运输量为最小而进行分析研究，得出计算模型和方法。在厂址选择实践中，大致可归纳为三种类型。

类型一：就取材地设厂。当主要原料或材料来自一处或者相邻近的情况，如图1中，A点为主要原材料产地，B点为外地原材料提取地的等距点，C，D，…，N为用户地等距点，虚线长度表示运输距离。图1（a）为主要原材料在区域内，图1（b）为主要原材料点A，B在边界上，C，D，…，N主要用户点的销售量彼此间悬殊不大，一般来说，当厂址设在A点时，总运输量可能为最小或较小，如坑口电厂、循环生产厂址等。

类型二：就大用户点设厂。如图2中，A，B，…，N点所示同一类，但C点为大的用户点，把厂址设在C点，可能会使总运输量最小或接近最小。

类型三：按最小运输量设厂。在实际问题中，往往遇到主要原材料产地或提取地相距较远，各用户或销售地的运输路线因地而异，应考虑一个最小运输量的厂址，作为选择厂址的一个条件。如图6是一个工程实例，可通过分析计算得到一个最小运输量的厂址。

2 最小运输量计算方法

设某产品所供给的区域有n个批量点（把若干个用户销量点概化为一个批量点），各批量点的用量分别为a_1，a₂，…，a_n，这n个批量点简称“批点”；从m个原材料场所取材料分别为a_n+1，a_n+2，…，a_n+m，这m个原材料场简称“料点”。n+m个点的位置以S_i表示，称“批料点”。设定的厂址位置以F表示。

如图3（a）所示，由于实际运输路线是曲折形状，为了能用数学式表示，F点至S_i点的实际运距改用虚直线表示。即连接F点与S_i点，在FS_i延长线上取P_i点，使FP_i长度等于F点到S_i点的实际运输路程，P_i点称“等距点”。FP_i分别以r₁，r₂，…，r_n，r_n+1，…，r_n+m表示（图3中取m+n=7）。

于是，总运输量为：

式中——总运输量，t·km；

——构件运输量，t·km；

——材料运输量，t·km。

在图3（b）中，取平面直角坐标系，设厂址位置为F（x，y），各等距点位置为P_i（x_i，y_i），于是得：

可见，总运输量；是F（x，y）两个变量的二元函数，一旦厂址位置选定，总运输量也就确定了，由此得下式：

令N=n+m，则

求出式（3）F（x，y）的最小值，则表明厂址设在该处时所得运输量最小。通常是求出区域内的极小值，而后与边界上的最小值比较，从而确定F（x，y）的最小值。由式（3）一阶偏导得：

同理得：

得极值必要条件方程组：

对式（3）二阶偏导得：

因：

同理得：

令以上二阶导数的值：

极小值充分条件为：B²-AC<0，A（或C）>0；但以上所得B²-AC=0，由充分条件不能决出是否有极小值，一般来说，是把函数F（x，y）在区域内所有极值与其边界上的最大最小值进行比较，然后确定，但这样相当复杂。在实际问题中，可由问题的性质，判定区域内（或边界附近）一定有最小值。如果函数在区域内只有一个驻点，那么该驻点就是要求的极点，即满足式（4）所得的极值也就是最小值。以下进一步用一个力学模型解析。

3 力学模型

笔者应用一个力学模型进一步验证了式（4）的实用性，阐明如下：

（1）如图4（a）所示，把一张适当比例的平面图贴在一块水平板上，图中有实际i条运输路线，在各线路末端为S_i点位置，取i=1，2，…，5，在S_i处各钻一个光滑小圆孔，用i条长度均为L的光滑线穿过。在板面上方将i条线的上端点联结在一起，称此联结点为“结点”。在板面下方各条线的下端点挂上砝码G_i，G_i的重量与S_i点运输重量a_i成统一比例。全部砝码挂上后，结点就随各砝码重力移动至F₁点得到平衡稳定。如此重复几次，当F₁点的位置均不改变，F₁点即为第一次得到的厂址位置。

（2）如图4（b）所示，考虑到实际运输线路长度并非F₁S_i的直线长度，而是弯曲的，在F₁S_i连线上取等距点P_i，在P_i点钻一小孔，如图4（b）所示，以同样方法求得F₂点，一般情况，F₂点即满足我们要求的F点。若不满足，再继续寻找F₃点，直到相邻两次所找到的F点位置相近为止。

此力学模型可证明如下：

如图5所示，i条线的长度均为L，各砝码重力平衡后，各S_i（P_i）点板面上的线段长度为r_i，板面下线段长度为L_i（略去板厚影响）。将各砝码对水平板面取矩，由式（5）求得砝码的重心与水平板面的垂直距离：

根据实验得知，砝码的重心要降低到可能最低位置，使其距水平板面达到最大^［2］，即H达到最大可能值时，结点才能稳定在F点，砝码才得到平衡。由式（6）可知，要使H达到最大值，必然是r_i值最小，即：

取最小值，故F点满足式（4）。

另外还可证明，设图5中F点的坐标为（x，y），各S_i（或P_i）点的坐标为（x_i，y_i），由力系平衡得：

式（7）与式（4）一致。在实际问题中，可先通过力学模型确定F点，而后用式（4）进一步计算。很快就可得到满意的结果。

4 算例

某工程有8个建筑群点需用预制构件，材料产地、交通路线、建筑群点位置以及材料和构件重量如图6和表1所示。其中S₁，S₂，…，S₈为安装点，S₉为碎石产地，S₁₀为砂子，水泥及钢筋等取料点，求预制厂位于何点能使总的运输量最小。

计算成果如下：

（1）先用表中a_i值和S_i坐标位置，由力学模型得到F_i（x=6.5，y=18.4），以便在此点附近进一步试求F点。

（2）据F₁（x，y）的位置，考虑路线的弯曲长度给出表中各点的P_i（x_i，y_i）值，同时将表中a_i值代入式（4）。经计算得到F（x=6.49，y=18.39）时，满足式（4），并且B²-AC=-43726546<0的条件也满足。于是，可据实际情况确定厂址位置为（x=6.5，y=18.4），或在其邻近。

在此实例中，比较了在S₃和S₁点建厂的运输量。计算结果，分别比在F₁点建厂增加运输量33%和58%，可见厂址选择不当，增加运输量是很可观的。本例是一个范围很小的运输量问题，若范围较大，更有其经济价值。

原文刊于《技术经济》1984年第2期。该研究成果获山西省1986年科技进步理论二等奖。

参考文献

［1］樊映川.高等数学（下册）［M］.北京：人民教育出版社，1978.

［2］武汉大学.物理学［M］.武汉：武汉大学出版社，1980.