第二节 几何体的体记与表面积

一、课标导航

二、概念辨析

（一）几何体的体积

问题1 如图1-2-1所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD.

（1）求线段PD的长.

（2）若PD是四棱锥P-ABCD的高，求三棱锥P-ABC的体积.

【分析】在体积计算中离不开空间几何体的“高”这个几何量（球除外），因此体积计算中的关键一环就是求出这个量。在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面.

求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视.

【解答】（1）∵BD是圆的直径，∴∠BAD=90°，

又∵△ADP∽△BAD，∴=，

PD====3R.∴PD的长为3R.

（2）因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以PD也是三棱锥P-ABC的高，由（1）知PD=3R，

∴三棱锥P-ABC的体积为V_P-ABC=·S_△ABC·PD=·R2·3R=R3.

（二）几何体的侧面积与表面积

问题2如图1-2-2所示一，个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是cm.

（1）求三棱台的斜高.

（2）求三棱台的侧面积和表面积.

【分析】空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体“暴露”在外的所有面的面积之和，在计算时要注意区分是侧面积还是表面积。多面体的表面积就是其所有面的面积之和；旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和.

【解答】（1）设O₁、O分别为正三棱台ABC-A₁B₁ C₁的上、下底面正三角形的中心如图，1-2-2所示，则O₁ O=，过O₁作O₁D₁⊥B₁ C₁，OD⊥BC， 则D₁ D为三棱台的斜高；过D₁作D₁ E⊥AD于E，则D₁ E=O ₁ O=

∵O₁D₁=×3=，OD=×6=，

∴DE=OD-O₁D₁=.

在Rt△D₁DE中，D₁D===（cm） .

故三棱台斜高为cm.

（2）设c、c´分别为上、下底的周长，h´为斜高，

S_侧=（c+c´）h´=（3×3+3×6）×=（cm2），

S_表=S_侧+S_上+S_下=+×32+×62=（cm2）.

则三棱台的侧面积为cm2表面积为，cm2.

（三）外接球与内切球

问题3

（1）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_____.

（2）已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积等于_____.

【分析】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选取最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素，并体现这些元素之间的关系），以达到空间问题平面化的目的.

【解答】（1）由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.

如图1-2-3所示，设O、O₁分别为下、上底面中心，且球心O₂为O₁ O的中点又，AD =a，AO =a，OO₂ =，设球的半径为R，则R 2=.

所以S_球=4πR2=4π×a2=πa2.

（2）由题意知，当该矩形为正方形时，其周长最小，且正方形边长为2，折起后，三棱锥D-ABC的外接球的半径为正方形对角线的一半，即R=2，所以表面积为16π.

【答案】（1）a2 （2 ）16π

三、全能突破

基础练习

1.正棱锥的高增为原来的n倍，底面边长缩为原来的，那么体积（ ）.

A.缩为原来的n

B.增为原来的n倍

C.没有变化

D.以上结论都不对

2.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（ ）.

A .

B .

C .

D .

3.一个表面为红色的棱长是9cm的正方体，将其适当分割成棱长为1cm的正方体，则仅有三面涂色的小正方体的表面积之和是（ ）.

A.48cm2

B.64cm2

C.72cm2

D.96cm2

4.如果棱长为2cm的正方体的8个顶点都在同一个球面上，那么球的表面积是（ ）.

A.8πcm2

B.12πcm2

C.16πcm2

D.20πcm2

5.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）.

A.80元

B.120元

C.160元

D.240元

6.已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为π，则该圆锥的侧面积为_____.

7.已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，则这个长方体的对角线长是_____；若长方体的共顶点的三个面的面积分别为3、5、15，则它的体积为_____.

8.Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕斜边AC旋转一周所成的几何体的体积为_____.

9.正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，则=_____.

能力提升

10.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）.

A.

B.4π

C.2π

D.

11.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）.

A.130

B.140

C.150

D.160

12.如图1-2-4所示，已知圆锥的母线长与底面半径长之比为3∶1.一个正方体有四个顶点在圆锥的底面内，另外的四个顶点在圆锥的侧面上，则圆锥与正方体的表面积之比为（ ）.

A.π∶1

B.3π∶1

C.3π∶2

D.3π∶4

13.如图1-2-5（a）所示，已知棱长为a的正方体，沿阴影面将它切割成两块，拼成图1-2-5（b）所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（ ）.

A.（2+2）a2

B.（3+2）a2

C.（5+2）a2

D.（4+2）a2

14.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA、PB、PC两两互相垂直，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为（ ）.

A.18

B.24

C.18

D.24

15.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）.

A.

B.

C2

D.

16.如图1-2-6所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触到水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）.

A.cm3

B.cm3

C.cm3

D.cm3

17.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）.

A .π

B.π

C.π

D.π

18.在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是（ ）.

A .

B.

C.

D .（0 ，1 ）

19.如图1-2-7所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=6，AD=4，AA₁=3，分别过BC、A₁D₁的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V₁=，V₃=，若V₁∶V₂∶V₃=1∶4∶1，则截面A₁EFD₁的面积为（ ）.

A.4

B.8

C.4

D.16

20.直三棱柱ABC-A1B1 C的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于_____.

21.已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B、C、D三点重合，则这个四面体的体积为_____.

22.如图1-2-8所示，在三棱柱A₁B₁ C₁-ABC中，D、E、F分别是AB、AC、AA₁的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V₁，三棱柱A₁B₁ C₁-ABC的体积为V₂，则V₁∶V₂=_____.

高考链接

23.（2014山东）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_____.

24.（2014江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S₁、S₂，体积分别为V₁、V₂，若它们的侧面积相等，且=，则的值是_____ .

25.（2013湖北）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸。若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_____寸.

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积.②一尺等于十寸）

26.（2014上海）底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P₁P₂P₃，如图1-2-9所示，求△P₁P₂P₃的各边长及此三棱锥的体积V.

巅峰突破

27.四面体的四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，记其中最大的面积为S，则的取值范围是（ ）.

A .

B.

C.

D.

28.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S-ABC的体积为（ ）.

A.3

B.2

C.

D.1

29.两相同的正四棱锥组成如图1-2-10（a）所示的几何体，可放在棱长为1的正方体内，如图1-2-10（b）所示使正四棱锥的底面.ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）.

A.1个

B.2个

C.3个

D.无穷多个

30.将一个长宽分别是a，b（0<b<a）的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是_____.

31.在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面积依次为S₁、S₂、S₃，则S₁、S₂、S₃的大小关系为_____.