数学历史 最小公倍数的起源

在古代文明中，不同的国家对最小公倍数都有不同的认识。古希腊时期，欧几里得在《几何原本》中提出了最小公倍数的概念，中国北魏张丘建在《张丘建算经》中阐述了最小公倍数与最大公因数的关系，但没有提出最小公倍数的概念。中国传统数学把分数通分运算、天文历法周期计算作为最小公倍数的起源；古希腊数学把数论研究作为最小公倍数的起源。中国传统数学在主流思想——重视实际应用的情况下发现了最小公倍数，古希腊数学在主流思想——重视逻辑演绎推理的情况下发现了最小公倍数。

中国传统数学以实用为主，最小公倍数的产生有两个内在的需求：一个是计算分数通分中的最小公分母，另一个是天文历法中计算寻找五星汇聚的周期或者几个行星运动的公共周期。

北魏数学家张丘建在《张丘建算经》序言中给出了分数通分的方法：分数的通分运算，先将带分数化成假分数。分母相同，分子直接相加减；分母不同，用所有分母的积作为公分母，分子相加减，然后再约分。他提出分子相加后，要对分数约分，约分后的分母就是最小公分母，比如，。

中国古代会观察一种五星汇聚的现象，它被古人称为星占学上最吉利的天象，所以，古代测算五星汇聚的周期是一件重要的事情。在西汉前，就有五星与日会合周期的记载。

刘歆在编撰三统历时，将五星与日会合周期做了整理，《三统历谱》记载五星与日会合周期为：木星与日经1728年会合1583见，即复于原处；金星与日经3456年会合，2161复，而复于原处；土星与日经4230年会合，4175见，而复于原处；火星与日经13824年会合，6469见，而复于原处；水星与日经9216年会合，29041复，而复于原处。[1728，3456，4230，13824，9216]=138240，经过138240年，五星复于原处。按照三统历法，年月日与甲子的最小公倍数是4617，[138240，4617]=23639040，这便是在《汉书·律历志》中记载的“二千三百六十三万九千四十，而复于上极太元”。

编纂历法时，不可避免地要求几个巨大数的最小公倍数，历法计算学家一定知道计算最小公倍数的方法。

中国古代有以下三个与最小公倍数相关的经典问题，同学们自己尝试算一算。

1.三女一归

今有三女，老大五日一归，老二四日一归，老三三日一归。问，三女何日相会？

2.封山周栈

今有封山周栈三百二十五里，甲、乙、丙三人同绕周栈行，甲日行一百五十里，乙日行一百二十里，丙日行九十里。问：周行几何日会？

3.三人值夜

今有内营周七百二十步，中营周九百六十步，外营周一千二百步。甲、乙、丙三人值夜，甲行内营，乙行中营，丙行外营，都发于南门。甲行九，乙行七，丙行五。问：各行防何周俱到南门？