1.4 无穷小与无穷大

1.4.1 无穷小

以0为极限的函数在理论研究和实际应用中都非常重要,下面我们介绍以0为极限的函数——无穷小.

定义1.4.1 如果0,则称fx)是当xx0(或x→∞)时的无穷小量,简称无穷小.

例如当x→0时,xx2,sin x都是无穷小;当x→1时,x-1,x2-1是无穷小;当x→+∞时,0都是无穷小.

极限过程xx0x→∞可换成单侧极限过程,如0为当x→0时的无穷小.

无穷小是指在x的某种变化过程下以零为极限的函数,而且无穷小这个函数与自变量x的变化过程有关. 例如当x→0时,x2是无穷小,但是当x→1时,x2就不是无穷小了. 另外,无穷小是以零为极限的函数(变量),任何一个非零常数,无论它的绝对值多么小,都不是无穷小,但是常数0可以看作无穷小.

无穷小与函数极限有下列关系:

定理1.4.1 0的充分必要条件是fx)=A+αx),(其中0).

 0. 记α=αx)=fx)-A,则fx)=A+αx),其中0.

反之,0.

定理1.4.1揭示了无穷小与函数极限的关系,所以又称无穷小定理. 以上无穷小的结论,对于x→∞等其他情形也成立.

根据无穷小的定义,可以得到它的一些运算性质:

定理1.4.2 在自变量的同一个极限过程中,有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.

例如,当x→0时,xx2,sin x都是无穷小,那么x2+sin xx sinxx+x2-sin x都是无穷小.

定理1.4.3 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.

 我们只证明xx0的情形,其他情形同理可证.

设函数ux)在x0δ1去心邻域0内有界,故存在正数M,当0时,|ux)|≤M. 又设αx)为当xx0时的无穷小,所以对给定的ε>0,存在δ2>0,当0时,0取,则当0,恒有

0

所以uxαx)是当xx0时的无穷小.

推论1.4.1 常数与无穷小的乘积仍是无穷小.

例如,当x→0时,x2,sin x都是无穷小,由以上性质和推论可知,2x2+sin x是无穷小.

例1.4.1 求0.

 由于0,由定理1.4.3知

0

1.4.2 无穷大

如果当xx0(或x→∞)时,对应的函数值的绝对值|fx)|无限增大,即

0

则称fx)是当xx0(或x→∞)时的无穷大量,简称无穷大.

无穷大的精确定义如下:

定义1.4.2 设函数fx)在x0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义),如果∀M>0,∃δ>0(X>0),使得当0<|x-x0|<δ(|x|>X)时,恒有|fx)|>M,就称fx)是当xx0(或x→∞)时的无穷大,记作

0

同理可以给出fx)→-∞,fx)→+∞的定义.

需要注意的是,当xx0(或x→∞)时为无穷大的函数fx),按函数极限的定义来看,极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态,我们也说“函数的极限是无穷大”. 另外,很大很大的数不是无穷大.

例如,当x→0时,0都是无穷大;当x→+∞时,x,ex都是无穷大.

例1.4.2 证明0.

 设∀M>0,要使

0

只要

0

所以,取0时,就有

0

这就证明了0.

定理1.4.4(无穷小与无穷大的关系) 在自变量x的同一个变化过程下,如果函数fx)是无穷大,则0是无穷小;反之,如果函数fx)是无穷小,且fx)≠0,则0是无穷大.

 设0.

ε>0,根据无穷大的定义,对于0,当0<|x-x0|<δ时,有

0

所以0是当xx0时的无穷小.

反之,设0,且fx)≠0.

M>0. 根据无穷小的定义,对于0,当0<|x-x0|<δ时,有

0

由于当0<|x-x0|<δfx)≠0,从而

0

所以0是当xx0时的无穷大.

类似地可证当x→∞时的情形.

习题1-4

1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小?举例说明.

2. 下列函数在什么情况下是无穷小?什么情况下是无穷大?

(1)e-x

(2)0

(3)0

(4)lg x

(5)ln(1+x);

(6)0.

3. 求下列极限:

0

4. 当x→∞时,将下列y=fx)表示表示成一个常数和无穷小之和.

0

5. 证明函数0在区间(0,1]上无界,但当x→0+时,这个函数不是无穷大.