1.2 数列的极限

1.2.1 数列极限的定义

极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的. 例如,我国三国时期的数学家刘徽(公元前3世纪)为计算圆的面积,采用了“无限逼近”的思想,发明了“割圆术”. 他依次计算圆的内接正六边形、正十二边形、正二十四边形、正四十八边形……的面积,得到一个面积值的数列A1A2A3A4,…,An,…,当边数n越来越大时,内接正n边形的面积就越来越接近圆的面积πr2. “割圆术”里就蕴含了数列极限的思想.

在介绍极限概念之前,先说明数列的概念. 如果按照某一法则,对每个nN+,对应着一个确定的实数xn,这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列

x1x2,…,xn,…

就叫做数列,简记为{xn},数列中的每一个数称为数列的项,第nxn称为数列的一般项或通项. 例如数列

0

数列{xn}可以看作是以正整数集N+为定义域的一种特殊的函数

xn=fn),nN+.

当自变量n依次取1,2,3,…时,对应的函数值就排列成数列{xn}.

考察数列的极限,就是判断当自变量n无限增大时,数列xn=fn)是否能无限接近于某个确定的常数?如果能够,这个常数等于多少?

我们对数列

0

进行分析. 在这个数列中,

0

因为xn与常数1之间的距离可以表示为

0

显然,当n越来越大时,|xn-1|越来越小,从而xn就越来越接近于1. 因为只要n足够大,0可以小于任意给定的正数. 所以说,当n无限增大时,xn无限接近于1. 例如,给定0,欲使0,只要n>100,即从第101项起,都能使不等式

0

成立. 同样的,如果给定0,即从第10001项起,都能使不等式

0

成立. 一般的,不论给定的正数ε多么小,总存在着一个正整数N,使得当n>N时,不等式

|xn-1|<ε

都成立. 这就是数列0n→∞时无限接近于1的实质. 数1称为数列0n→∞时的极限.

为此,我们引入数列极限的定义:

定义1.2.1 设数列{xn},如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式

|xn-A|<ε

都成立,则称A为数列{xn}的极限,也称数列{xn}收敛于A,记为

0

xnAn→∞).

如果不存在这样的常数A,则称数列{xn}极限不存在,也称数列{xn}发散.

对于数列极限的定义应注意以下几点:

(1)ε的任意性 ε是任意给定的正数,用来衡量xnA接近的程度,ε究竟小到什么程度是没有限制的. 只有正数ε可以任意小,才能使不等式|xn-A|<ε精确地刻画xn无限接近于A的实质。然而,尽管ε有任意性,但它一经给出,就应暂时看作固定不变的,以便根据它来求N. 再者,ε既然可以是任何正数,那么它也可用2ε,3εε2来代替.

(2)N的存在性 N是与ε有关的正整数,用来刻画保证不等式|xn-A|<ε成立需要n有多大的程度. 一般地,ε越小,N越大. 定义中重要的是N的存在性,而不在于它到底取何值. 当N存在时,它的取值不唯一,可取比它大的任何正整数,因此我们确定时,经常将|xn-A|作适当的放大处理,使问题简单化. 同样的,N也未必要求是正整数,只要是正数即可.

(3)收敛数列的简明图形 如果用数轴上的点来表示收敛数列{xn}的各项,就不难发现:不论正数ε多么小,所以下标大于Nxn,都落在A的一个邻域UAε)内(图1-2-1),而在此邻域之外,至多只有N项(有限项).

0

图1-2-1

利用收敛数列的简明图形不难推测数列{n2}与{(-1)n}都是发散的,因为它们不是几乎全体的点(至多有限个点除外)都能聚集在某一个点的任意小邻域内.

例1.2.1 证明0.

 对∀ε>0,要使

0

0,所以只要使0,当n>N时,总有|xn-A|<ε,所以0.

例1.2.2 设|q|<1,证明等比数列

1,qq2,…,qn-1,…

的极限为0.

 如果q=0,结论显然. 因此我们只要证明0<|q|<1的情形. 由于

|xn-A|=|qn-1-0|=|q|n-1

因此对∀ε>0(0<ε<1),要使|xn-A|<ε,只要|q|n-1<ε. 两边取自然对数,得

0

取正整数0,当n>N时,有|xn-A|<ε,所以0.

1.2.2 收敛数列的性质

定理1.2.1(唯一性) 收敛数列的极限唯一.

 反证法. 假设收敛数列{xn}有两个不同的极限AB,不妨设A<B. 由于0,所以对0,存在正整数N1,当n>N1时,总有

0

同理,因为0,所以对上述0,存在正整数N2,当n>N2时,总有

0

N=max{N1N2},当n>N时,上述两个不等式同时成立,从而有

0<B-A=|(xn-A)-(xn-B)|≤|(xn-A)|+|(xn-B)|<B-A

上式是矛盾的,因此收敛数列的极限必是唯一的.

定理1.2.2(有界性) 收敛数列必有界. 即如果数列{xn}收敛,则必存在M>0,使得对于一切n=1,2,…,恒有|xn|≤M.

 设0,存在正整数N,当n>N时,总有

0

从而

0

0

0,则对于一切n=1,2,…,恒有|xn|≤M,表明收敛数列{xn}有界.

需要说明的是:(1)有界数列未必收敛,例如数列{(-1)n};(2)无界数列一定是发散的. 如数列{n2}.

定义1.2.2 从数列{xn}中任选无限多项,并按下标从小到大排成一列,记作

xn1xn2…,xnk…,

称此数列{xnk}为数列{xn}的一个子数列,简称子列.

特别地,数列{xn}的奇子列为

x1x3x5,…,x2n-1,…,

偶子列为

x2x4x6,…,x2n,….

定理1.2.3 数列{xn}收敛于A的充分必要条件是数列{xn}的奇子列和偶子列都收敛于A.

 (必要性)由于0,所以对∀ε>0,存在正整数N,当n>N时,总有

|xn-A|<ε

而此时2n-1>N,2n>N,故有

|x2n-1-A|<ε,|x2n-A|<ε

所以

0

(必要性)如果0,则对于∀ε>0,存在正整数N1N2,当n>N1时,总有

|x2n-1-A|<ε

n>N2时,总有

|x2n-A|<ε.

N=max{2N1-1,2N2},当n>N时,不论n为奇数还是偶数,总有

|xn-A|<ε

所以

0

进一步,我们可以将定理1.2.3推广得到

定理1.2.4 数列{xn}收敛于A的充分必要条件是数列{xn}的所有子列都收敛于A.

 (必要性)设数列{xnk}是数列{xn}的任一子列.

由于0,所以对∀ε>0,存在正整数N,当n>N时,总有|xn-A|<ε.

K=N,则当k>K时,nk>nK=nNN,于是|xnk-A|<ε.. 这就证明了0.

(充分性)若数列{xn}的所有子列都收敛于A,则{xn}的奇子列和偶子列都收敛于A,由定理1.2.3可知数列{xn}收敛于A.

定理1.2.4表明:如果数列{xn}存在一个发散的子列,或存在两个收敛但极限不等的子列,则{xn}一定发散. 另外,发散数列可能存在收敛的子列. 如发散数列{(-1)n}的偶子列{1}收敛于1,奇子列{-1}收敛于-1.

习题1-2

1. 观察下列数列的变化趋势,对存在极限的数列,写出它的极限.

0

2. 求下列极限:

0

3. (1)数列的有界性是数列收敛的什么条件?

(2)无界数列是否一定发散?

(3)有界数列是否一定收敛?

4. 设数列{xn}有界,又0.

5. 对于数列{xn},若x2k-1ak→∞),x2kak→∞),证明xnan→∞).