3.2 SCA算法原理

一般来说，基于群体的优化技术是以一组随机解开始优化过程的。该组随机解由目标函数反复求值，并由优化技术的核心规则集进行改进。由于基于群体的优化技术是随机地寻找优化问题的最优解的，因此不能保证在每次运行中都找到一个解。然而，随着随机解的数量和优化步骤（迭代）的增加，找到全局最优解的概率将增加。

尽管不同的基于随机解的优化算法之间存在差异，但其共同点是将优化过程划分为两个阶段：探索阶段与开发阶段[164]。在探索阶段，一种优化算法将解集中的随机解突然结合起来，以较高的随机性寻找搜索空间的有希望区域。在开发阶段，随机解是逐渐变化的，随机变化要比探索阶段小得多。

SCA算法是一种基于群体的优化算法，它主要依赖正余弦算子使搜索代理朝目标方向移动。该算法基于以下位置更新方程：

式中，为第t次迭代时，当前解在第i维中的位置；r1～r3为随机数；为目标点在第i维中的位置。于是有：

式中，r4是[0，1]中的一个随机数。

如式（3.3）所示，SCA中有4个主要参数：r1～r4。r1指示下一个位置s区域（或移动方向），该区域可以位于解和目标之间的空间，也可以位于目标之外。r2定义了朝向目标或远离目标移动的距离。为了随机地加强（r3＞1）或减弱（r3＜1）目标在定义距离时的影响，r3为目标带来一个随机权重。最后，在式（3.3）中，r4在正弦分量和余弦分量之间均匀切换。

由于式（3.3）中使用了正弦函数和余弦函数，所以这个算法被命名为正余弦算法（SCA）。图3.1显示了该算法如何在搜索空间中定义两个解之间的空间。需要注意的是，虽然图3.1中显示了一个二维模型，但实际上可以扩展到更高的维度。正弦函数和余弦函数的循环模式允许一个解围绕另一个解重新定位。这可以保证利用两个解之间定义的空间。为了探索搜索空间，解还应该能够在其对应目标之间的空间之外进行搜索。

从图3.1可以看出，当搜索代理进入[-2，1]和（1，2）时，当前解将离开目标，探索搜索空间；但是，当搜索代理在[-1，1]中移动时，当前的解将向目标移动并利用搜索空间。

算法应该能够平衡探索和开发，找到搜索空间中有希望的区域，并最终收敛到全局最优。众所周知，探索和开发阶段寻求相互矛盾的目标。因此，为了平衡探索和开发，在优化过程中利用下式自适应地改变r1的值：

式中，t为当前迭代；T为最大迭代次数；a为常数。图3.2显示了随着迭代次数的增加，正弦函数值和余弦函数值的范围是如何减小的。

从图3.2可以看出，随着迭代次数的增加，搜索空间的范围逐渐缩小，开发变得越来越重要。此外，图3.2（b）的范围小于图3.2（a）的范围，这表明，a=2时比a=3时更容易进入搜索空间的开发阶段，但探索能力较弱。也就是说，参数a决定了搜索空间的探索和开发之间的平衡。在本章中，将参数模型设为a=2。

SCA算法的伪代码如算法3.1所示。该算法首先通过一组随机解启动优化的过程，然后保存到目前为止获得的最佳解，将其指定为目标解，并更新与之相关的其他解。同时，随着迭代次数的增加，对正弦函数值和余弦函数值的范围进行了更新，以强调对搜索空间的开发。当迭代次数超过最大迭代次数时，算法终止优化过程。然而，任何其他终止条件，如最大迭代次数或得到的全局最优解的精度都可以被考虑。

通过以上介绍，从理论上可以确定优化问题的全局最优解，理由如下。

① SCA算法为给定的问题创建并改进了一组随机解决方案，因此与基于个人的算法相比，SCA算法在本质上受益于较高的探索性能，从而避免了局部优化。

② 当正弦函数和余弦函数返回值大于或小于-1时，搜索空间的不同区域。

③ 当正弦函数和余弦函数返回值在-1和1之间时，搜索空间中有希望的区域被利用。

④ 该算法利用正弦函数和余弦函数的自适应范围，实现了由探索到开发的平稳过渡。

⑤ 全局最优解的最佳逼近作为目标点存储在一个变量中，在优化过程中不会丢失。

⑥ 由于解总是围绕目前得到的最优解更新位置，所以在优化过程中搜索空间的最优区域是有趋势的。

⑦ 由于该算法将优化问题视为黑盒问题，所以只要问题表述得当，就可以很容易地将其应用到不同领域的问题中。

为了说明SCA算法的收敛性能，选取23个基准函数（见附录A）中的F1、F9、F11和F14进行测试。参数设置如下：种群大小为30；迭代次数为1000。测试函数和收敛曲线如图3.3所示。

从图3.3中可以看出，单峰函数和多峰函数的测试中均具有明显的收敛性。因此，可以将其用在目标跟踪上，可看作在图像上有多个变量时的求最优解问题。