2.2 非线性方程的图解法

如果方程含有一个或两个未知数，则可以通过图解法求解方程。如果未知数过多，则不适合使用图解法，而应该尝试其他方法。本节将介绍一元与二元方程的图解方法，并分析总结图解法的优势与劣势。

2.2.1 光滑隐函数曲线的绘制

MATLAB提供了一般双变量隐函数模型的绘制函数fimplicit()，正常情况下该函数的默认设置可以得出比较光滑的隐函数曲线，不过在一些特定的场合下，需要手工调节该函数的控制参数，以获得光滑的函数曲线。下面通过例子演示光滑隐函数曲线的绘制方法。

例2-8 试绘制隐函数y2cos(x+y2)+x2ex+y=0在(−2π,2π)求解的光滑曲线。

解 下面的函数可以直接绘制出该隐函数的曲线，如图2-1所示。可以看出，该函数可以直接绘制出隐函数曲线，不过曲线的某些地方比较粗糙，例如曲线左上角与右下角区域出现不光滑的毛刺现象。

隐函数曲线的光滑度受网格密度属性'Meshdensity'直接影响，其默认值为151，如果发现得出的曲线不光滑，不妨将该值设置为大一些的值，如500，这时得出的隐函数曲线如图2-2所示。可见，这样得出的曲线光滑度是令人满意的，即使作局部放大，曲线仍然是光滑的。

    >> fimplicit(f,[-p,p],'Meshdensity',500)

2.2.2 一元方程的图解法

定义2-5 一元方程的一般数学形式为

对于任意的单变量方程f(x)=0，可以考虑将方程用符号表达式描述，然后调用fplot()函数绘制出方程的曲线，这样，就可以用图解方法求出方程曲线与横轴的交点，这些交点就是方程的解。

例2-9 根式方程的解析求解是有诸多条件的，如果条件不满足则无法解析求解。试用图解方法求解下面的根式方程。

解 先用符号表达式表示方程的左端，则可以调用fplot()函数，并叠印上横轴，则可以得出如图2-3所示的曲线。从得出的结果看，方程与横轴只有一个交点，该交点就是方程的解。

如果想得到方程的解，则需要单击图形坐标轴工具栏中的图标，对交点附近的区域作局部放大，用户可以反复地使用放大功能，直至x的标度都大致一样，这时，可以认为得到了方程的解。对这个具体的方程而言，通过局部放大得出方程的解为x=0.13809878，如图2-4所示，代入方程则可以得出误差为6.018×10−9。

例2-10 试求解下面的一元超越方程。

e−0.2xsin(3x+2)−cosx=0,x∈(0,20)

解 这个超越方程是没有解析解的，必须用数值解的方法求解。图解法是一种数值求解方法。前面的例子曾经使用符号表达式来描述原始方程，这里采用匿名函数来描述方程，这两种方法是等效的。由fplot()函数可以直接绘制出方程的曲线，并同时叠印出横轴，如图2-5所示。这样，方程曲线与横轴的交点都是方程的解。

可见，在给定的区间内，该方程曲线与实轴有6个交点，这些交点处的x都是方程的根。与前面的叙述一致，可以通过局部放大的方法逐一求出方程的根，不过求解过程还是很麻烦的。例如，可以求出方程的一个根为x=10.9601289577，代入方程可以得出误差为−3.4739×10−11。后面将探讨更好的方法。

2.2.3 二元方程的图解法

二元方程联立组的数学形式与定义在下面给出，本节将探讨利用图解的方式求解相应的二元联立方程组，并指出图解法存在的问题。

定义2-6 二元联立方程的一般形式为

从给出方程的数学形式看，f(x,y)=0可以看成关于自变量x和y的隐函数表达式，故使用fimplicit()函数即可以直接绘制该隐函数的曲线，而曲线上的所有点都满足该方程。同样，g(x,y)=0也是隐函数的数学表达式，由fimplicit()函数可以求解该方程。如果将这两个函数在同一坐标系下绘制出来，得出的曲线交点则为联立方程的解。

例2-11 试求解二元方程在−2π≤x,y≤2π区域内的解。

解 要想求解联立方程，可以声明符号变量x和y，然后将两个方程用符号表达式分别表示出来，再调用fimplicit()就可以绘制出两个方程的解曲线了，如图2-6所示。图中给出的每条曲线都满足一个方程，而联立方程的解为曲线的交点。可以看出，该方程在给定区域内有很多解。由得出的图形可见，隐函数曲线的光滑度不影响曲线交点的求解，所以可以按默认形式绘制曲线。

如果想得出某个具体交点的信息，则可以对该点作局部放大，大致地得出交点处的x与y值，不过可以预计，这样的解不会太精确，此外由于这个联立方程存在太多交点，所以一个一个局部放大去求解的方式显然不适用，应该考虑引入能一次性求出所有交点的全新方法。

例2-12 试用图解法求解下面的联立方程。

解 先用符号表达式表示这两个方程，然后将这两个隐函数绘制出来，得出的曲线如图2-7所示。可见，图中显示这两组曲线有两个交点。能因此得出结论，说原方程有两个根吗？

如果将第二个表达式稍加变换，则x=−4y3−3y2+2，代入第一个方程，有

16y6+24y5+9y4−16y3−11y2−1=0

可见，这是一个关于y的六次多项式方程，很可能该方程有六个根，而不是图2-7中所示的两个根。为什么图中只给出两个根呢？因为原方程有两个实根，其他四个根应该是两对共轭复数根。在图解法中只能表示出方程的实数根，而不能显示、求取复数根。

2.2.4 方程的孤立解

观察例2-11中给出的方程，不难发现，将x=0，y=0这个点代入两个方程，这两个方程都是满足的。如果从给出的曲线看，第一个方程的曲线似乎有意回避了这个点，而第二个方程也不经过这个点。这个点不是由曲线其他点演化而来的，这样的解称为孤立解（isolated solution）。

目前没有任何方法可以求取方程的孤立解，只能由用户的经验观察与判断某些点是不是方程的孤立解。例如，通过观察可见，x=0，y=0点是该方程的孤立解，代入原方程则可以验证其正确性。