1.4　流体在管内的流动阻力

流体流动的阻力损失与其内部结构紧密相关。此外，流体的热量传递和质量传递也都与流动的内部结构紧密相关。

1.4.1　流动的类型

两种流型——层流和湍流　1883年著名的雷诺（Reynold）实验揭示了流体流动的两种不同型态。图1-14为雷诺实验装置示意图。在一玻璃水箱内，溢流装置保证水面高度稳定，水面下装有一带喇叭形进口的玻璃管。管下游有一流量调节阀门。在喇叭形进口处中心有一根针形小管，从小管流出一丝红色水流，其密度与水几乎相同。

当水流量较小时，玻管水流中呈现一条稳定而明显的红色直线。现逐渐增加流量，起初红色线仍然保持平直；当流量增大到某临界值时，红色线开始抖动、弯曲，继而断裂。最后完全与水流主体混在一起，无法分辨，使整个水流染上了红色。

雷诺实验揭示了一个重要的事实，即存在着两种截然不同的流体流动类型。在前一种流型中，流体质点作直线运动，流体层次分明，层与层之间互不混杂（此处仅指宏观运动，不是指分子扩散），而使红色线流保持着线形。这种流型称为层流或滞流。在后一种流型中，流体质点在总体上沿管道向前运动，同时还在各个方向作随机的脉动，这种随机脉动使红色线抖动、弯曲，以至冲断、分散。这种流型称为湍流或紊流。

流型的判据——雷诺数Re　不同的流动类型对流体中的动量、热量和质量传递产生不同的影响。对管流而言，实验表明流动的几何尺寸（管径d）、流动的平均速度u及流体物性（密度ρ、黏度μ）对流型从层流到湍流的转变有影响。将这些影响因素综合成一个无量纲的数群可作为流型的判据，该数群称为雷诺数，以符号Re表示。实验表明：

①当Re<2000时，必定出现层流，此为层流区。

②当2000≤Re<4000时，有时出现层流，有时出现湍流，依赖于环境。此为过渡区。

③当Re≥4000时，工业条件下，一般都出现湍流，此为湍流区。

应该指出，以Re为判据将流动划分为三个区：层流区、过渡区、湍流区，但是只有两种流型。过渡区并非表示一种过渡的流型，它仅表示在此区内可能出现层流也可能出现湍流。究竟出现何种流型，需视外界扰动而定，但在一般工程计算中Re≥2000可作湍流处理。

雷诺数的物理意义是它表征了流动流体惯性力与黏性力之比，它在研究动量传递、热量传递、质量传递中非常重要。

时均速度与脉动速度　湍流状态下，流体质点在沿管轴流动的同时还作着随机的脉动， 流场中任一点的速度（包括方向和大小）都随时变化。在某点测定沿管轴x方向的流速u_x随时间的变化，可得图1-15所示的波形。在其他方向上，该点速度的分量也有类似的波形。

从图1-15的曲线看，在时间段T内有一速度的时间平均值，称为时间平均速度。湍流时其他流动参数（如压强p等）也有类似图1-15的曲线。这样，质点的瞬时流速可写成

　　（1-31）

式中，u'_x表示x方向上随机的脉动速度。其他方向上也有类似的公式。脉动速度值可正可负，是一个随机量。对沿x方向的一维流动，、均为零，但脉动速度u'_y、u'_z仍然存在。

湍流的强度　湍流也可用另一种方法描述，即把湍流看作是在一个主体流动上叠加各种不同尺度、强弱不等的旋涡。大旋涡不断生成，并从主流的势能中获得能量。与此同时，大旋涡逐渐分裂成越来越小的旋涡，其中最小的旋涡中存在大的速度梯度，机械能因流体黏性而最终变为热能，小旋涡随之消亡。因此，湍流流动时的机械能损失比层流时大得多。

湍流强度通常用脉动速度的均方根值与平均流速的比值表示，即，其数值与旋涡的旋转速度有关。无障碍物的湍流流场的湍流强度约在0.5%～2%，但在障碍物后的高度湍流区，湍流强度可达5%～10%。

湍流的尺度　湍流尺度与旋涡大小有关，它是以相邻两点的脉动速度是否有相关性为基础来度量的。当空气以12m/s的流速在管内流过， 湍流尺度为10mm，这是对管内旋涡平均尺度的大致度量。同一设备中，随Re的增加， 湍流尺度降低。比如， 液液非均相分散时， 分散相液滴破碎变小到一定程度， 湍流尺度大的流场对它已无能为力了， 要获得更小的分散相液滴， 须用湍流尺度更小的流场来实现。

湍流黏度　湍流的基本特征是出现了脉动速度。当流体在圆管内湍流流动时，脉动速度加快了径向的动量、热量和质量的传递。湍流时，流体不再服从牛顿黏性定律式（1-3）。若仍用牛顿黏性定律的形式来表示，可写成

　　（1-32）

式中，μ'称为湍流黏度。它不再是流体的物理性质，它随不同流场及离壁的距离而变化。

边界层　边界层学说是普朗特于1904年提出的。当流速均匀的实际流体与一个固体界面接触时，与壁面直接接触的流体速度立即降为零。由于流体黏性的作用，近壁面的流体将相继受阻而降速，形成速度梯度。随着流体沿壁面向前流动，流速受影响的区域逐渐扩大。通常定义，流速降为来流速度u₀的99%以内的区域为边界层。

由图1-16可见，边界层内存在着速度梯度，须考虑黏度的影响；而边界层外，速度梯度小，可忽略黏性的影响。边界层按流型仍可分为层流边界层和湍流边界层。如图1-16所示，在平壁上的前一段，边界层内的流型为层流，称为层流边界层。离平壁前缘一定距离后，边界层内的流型转为湍流，称为湍流边界层。

湍流时的层流内层和过渡层　湍流边界层内，离壁面越近速度脉动越小。近壁处速度脉动很小，流动仍保持层流特征。因此，即使在高度湍流条件下，近壁面处仍有一薄层保持着层流特征，该薄层称为层流内层，见图1-16。在湍流区和层流内层间还有一过渡层。层流内层一般很薄，其厚度随Re的增大而减小。在湍流核心内，径向的传递过程因质点的脉动而大大强化。在层流内层中，径向的传递只能依赖于分子运动。因此，层流内层是传递过程主要阻力所在。

管流入口段　当流体在圆管内流动时，只在进口处一段距离内（入口段L₀）有边界层内外之分。经过入口段距离后，边界层扩大到管中心，如图1-17所示。在管中心汇合时，若边界层内流动是层流，则以后的管流为层流。若在汇合点之前流动已发展成湍流边界层，则以后的管流为湍流。速度分布至汇合点处才发展成稳定的定态流动时管流的速度分布。入口段中的动量、热量、质量传递速率比充分发展段的大。例如，雷诺数等于9×10⁵时，入口段长度约为40倍管直径。

1.4.2　流体在圆管内的速度分布

流体的力平衡　图1-18表示流体在一圆直管内作定态流动的情况。在流体流动的圆直管内，以管轴为中心，取一半径为r，长度为l的圆柱形积分控制体，对它作受力平衡分析。该圆柱体所受诸力是：两端面上的压力F₁=πr²p₁、F₂=πr²p₂；侧表面上的剪切力F=2πrlτ；圆柱体的重力F_g=πr²lρg；式中，p₁、p₂为两端面中心处的压强，N/m²；τ为圆柱体外表面上所受的剪应力，N/m²。

流体在圆直管内作定态流动，没有加速度，合外力必须等于零，即

F₁-F₂+F_gsinα-F=0

因lsinα=z₁-z₂，代入上式可得

πr²（p₁-p₂）+πr²ρg（z₁-z₂）=2πrlτ　　（1-33）

将式（1-33）整理可得

　　（1-34）

式（1-34）表示了圆直管内沿径向的剪应力分布。此式与流体种类无关，且对层流和湍流皆适用。此式表明，在圆直管内剪应力与半径r成正比，管中心处剪应力为零。

层流时的速度分布　流体在圆直管内层流流动时， 剪应力与速度梯度的关系服从牛顿黏性定律， 即

　　（1-35）

由于管内流动的du/dr为负，为使剪应力保持正号，式（1-35）右方加一负号。将式（1-35）代入式（1-34），并利用管壁上流体速度为零（即r=R时， u=0）的边界条件进行积分，得到圆直管内层流速度分布为

　　（1-36）

其中，管中心的最大流速为

　　 （1-37）

从式（1-36）可知，层流时圆管截面上的速度呈抛物线分布，如图1-19所示。

层流时的平均速度　由速度分布式（1-36）在管截面上积分，可求出管内的平均流速为

　　（1-38）

即圆管内作层流流动时的平均速度为管中心最大速度的一半。

圆管内湍流的速度分布　当流体作湍流流动时，虽然剪应力也可写成牛顿黏性定律的形式［见式（1-32）］，但式中湍流黏度μ'并非物性常数，它随Re及离壁距离而变，因此无法用数学分析法推导出湍流的速度分布。在大量实验测量和研究的基础上，湍流时的速度分布被关联成如下经验关系式

　　（1-39）

式中，指数n的值与Re有关，在不同的Re范围内取不同的值

图1-20表示了圆直管中湍流的速度分布。Re数越大，近壁区以外的速度分布越均匀。

湍流时的平均速度　由图1-20可见， 湍流时截面速度分布比层流时均匀得多。这表明，湍流时的平均速度应比层流时更接近于管中心的最大速度u_max。在发达的湍流情况下，其平均速度约为最大流速的0.8倍，即

　　（1-40）

1.4.3　流体在管内流动的阻力损失

直管阻力和局部阻力　常用化工管路主要由两部分组成：一种是直管；另一种是弯头、三通、阀门等管阀件。无论是直管或管阀件都对流动流体造成一定的阻力，消耗一定的机械能。直管造成的机械能损失称为直管阻力损失（也称沿程阻力损失）；管阀件造成的机械能损失称为局部阻力损失。这种划分便于工程计算，本质并无不同，都是由黏性和内摩擦力造成的。

阻力损失表现为流体势能的降低　如图1-21所示，当流体在均匀直管中作定态流动时，可取1-1截面和2-2截面，u₁=u₂。在截面1-1、2-2之间未加入机械能，h_e=0。由机械能衡算式（1-24）可知

　　（1-41）

由式（1-41）可知，对于通常的管路，无论是直管阻力或是局部阻力，也不论是层流或湍流，阻力损失均主要表现为流体势能的降低，即。只有水平等径管道，阻力损失表现为压强的降低。

层流直管阻力损失　直管内流体层流时，阻力损失造成的势能差可由式（1-38）求出

　　（1-42）

式（1-42）称为泊谡叶（Poiseuille）方程。层流时的直管阻力损失为

　　（1-43）

湍流直管阻力损失　湍流时无法获得解析解，可通过量纲分析法进行实验研究，获得经验的计算式。影响湍流直管阻力损失h_f的主要因素，除了式（1-43）中的物性因素：密度ρ、黏度μ和操作因素：流速u，以及设备因素：管径d、管长l之外，还有管壁粗糙度ε （管内壁表面高低不平）。

量纲分析法是通过将变量组合成无量纲数群，从而减少实验自变量的个数，大幅度地减少实验次数，因此在化工过程的研究中广为应用。量纲分析法的依据是：任何物理方程的等式两边或方程中的每一项均具有相同的量纲，称为量纲一致性。

以层流为例，式（1-43）可以写成如下形式

　　（1-44）

式中每一项都不带量纲，称为无量纲数群。湍流时可写成如下的无量纲形式

　　（1-45）

式中，即为雷诺数Re；称为相对粗糙度。

对式（1-45）而言，根据经验，阻力损失与管长l成正比，u²习惯写成动能项（u²/2），该式可改写为

　　（1-46）

特别重要的是，若按式（1-46）组织实验时，可以将水、空气等介质的实验结果推广应用于其他流体，将小尺寸模型的实验结果应用于大型装置。函数的具体形式可按实验结果用图线或方程式表达。

统一的表达方式　无论是层流或湍流，对于直管阻力损失，可将式（1-44）和式（1-46）统一成如下形式，以便工程计算

　　（1-47）

式中，摩擦系数λ为雷诺数Re和相对粗糙度ε/d的函数， 即

　　（1-48）

摩擦系数λ　对Re<2000的层流直管流动，将式（1-43）改写成（1-47）的形式后，可得

　　（1-49）

研究结果表明， 湍流时的摩擦系数λ可用式（1-50）计算

　　（1-50）

当已知Re和ε/d时，通过迭代可求出λ值，工程上为避免试差迭代，也为了使λ与Re、ε/d的关系形象化，将式（1-49）、式（1-50）制成图线，见图1-22（莫迪图）。

该图为双对数坐标。在Re=2000～4000的过渡区内，管内流型因环境而异，摩擦系数波动。工程上为安全计，常作湍流处理。当Re≥4000，流动进入湍流区，摩擦系数λ随雷诺数Re的增大而减小。当Re足够大后，λ不再随Re而变，其值仅取决于相对粗糙度ε/d。由式（1-47）可知，阻力损失h_f与流速u的平方成正比。该区域称为充分湍流区或阻力平方区。

粗糙度对λ的影响　层流时，粗糙度对λ值无影响。在湍流区，管内壁高低不平的凸出物对λ的影响是相继出现的。当Re大到一定程度，λ值不再变化，管流便进入阻力平方区。

实际管的当量粗糙度　管壁粗糙度对阻力系数λ的影响首先是用人工粗糙管测定的。人工粗糙管是将大小相同的砂粒均匀地黏着在普通管壁上，人为地造成粗糙度，因而其粗糙度可以精确测定。工业管道内壁的凸出物形状不同，高度也参差不齐，粗糙度无法精确测定。实践上是通过实验测定阻力损失并计算出λ值，然后由图1-22反求出相当的相对粗糙度，称为实际管道的当量相对粗糙度。由当量相对粗糙度可求出当量的绝对粗糙度ε。

化工常用管道的当量绝对粗糙度示于表1-1。

非圆形管的当量直径　前面讨论了圆直管的阻力损失。实验证明，对于非圆形管内的湍流流动，如采用下面定义的当量直径d_e代替圆管直径，其阻力损失仍可按式（1-47）和图1-22进行计算。

　　（1-51）

当量直径的定义是经验性的，理论根据并不充分。对于层流流动还应改变式（1-49）中的64这一常数，如正方形管为57，环隙为96。对于长宽比大于3的矩形管道使用式（1-51）将有相当大的误差。

用当量直径d_e计算的Re也用以判断非圆形管中的流型。非圆形管中稳定层流的临界雷诺数同样是2000。

局部阻力损失计算　局部阻力损失是由于流道的急剧变化使流动产生大量旋涡消耗了机械能。常见的管件和阀件的局部阻力系数如表1-2所示。局部阻力损失因管阀件种类繁多，规格不一，难以精确计算。通常采用以下两种近似方法。

（1）近似地认为局部阻力损失服从平方定律

　　（1-52）

式中，ζ为局部阻力系数，由实验测定。

（2）近似地认为局部阻力损失相当于某个长度的直管

　　（1-53）

式中，l_e为管阀件的当量长度，由实验测得。

显然，式（1-52）、式（1-53）两种计算方法所得结果不会一致，它们都是近似的估算值。

从图1-23～图1-25和表1-2中可查得常用管阀件的ζ和l_e值。对于突然扩大和缩小， 值得注意的是式（1-52）和式（1-53）中的u须用小管截面的平均速度。

实际应用时，长距离输送以直管阻力损失为主；车间管路则往往以局部阻力为主。

计算管道阻力损失时，若能估计出旧管路的ε值，应以此查取λ，而不用新管的ε。更常用的方法是采用安全系数，即用新管的ε查出λ后，按使用情况将λ乘上一个大于1的安全系数。如平均使用5～10年的钢管，其安全系数取1.2～1.3，以适应粗糙度的变化。