1 大数字

1.你最多能数到几？

这是一个关于两位匈牙利贵族的故事。他们决定玩一个游戏，能够说出最大的数字的那个人获胜。

“行啊，”其中一个人说，“你先说出你的数字吧。”

经过几分钟艰难的思索之后，第二位贵族说出了他能够想到的最大的数字。

“3。”他说。

现在轮到第一个人思考了，但他在15分钟之后选择了放弃。

“你赢了。”他说。

这两位匈牙利贵族当然不是高智商的代表，而且这个故事很可能是在挖苦讽刺人，但这样的谈话或许真的曾经在两个人之间发生过，只是他们不是匈牙利人，而是霍屯督人（Hottentots）。确实有一些很有权威的非洲探险家向我们证实，许多的霍屯督人部落的词汇中没有大于3的数。譬如你问一个当地人他有几个儿子，或者他杀死了多少敌人，如果不止3个，他就会告诉你“许多”。所以，如果一个幼儿园小娃娃能够数到10，他就能在数数这项技艺比赛中一举击败那些霍屯督人部落里强壮的成人！

今天，我们想写多大的数字都能办到，而且对此已经非常习惯了。无论这些数字代表的是以美分为单位的经费，还是以英寸为单位的星际距离，你只需要在某个数字的右边加上足够多的零就可以了。你可以一直写零，写到你的手发软，结果在不知不觉中，你已经写下了一个数字，甚至大于整个宇宙中所有的原子的数目，而我们不妨顺便说一句，宇宙中所有原子的数目是300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

或者，你可以把它写成较为简单的形式：3×1074。10的右边，比其他数字高出一点的小数字74代表着你必须写多少个零。换言之，就是必须用74个10和3连乘。

但在古时候，这个能让“算术变得容易”的数字系统还不为人知。事实上，这个系统是在不到两千年前由某个没有留下名字的印度数学家发明的。在他做出这个伟大的发现——这确实是一个伟大的发现，尽管我们通常没有认识到这一点——之前，数字是人们用一些特殊的符号写成的，每一个这样的符号代表我们今天说的一个十进制单位。这样的符号重复多少次，就说明有多少个这样的单位。例如，古埃及人是这样书写数字8732的：

而在恺撒（Caesar）的政府里，他的一位部下会用如下形式代表这个数字：

MMMMMMMMDCCXXXII

后面这种计数法你肯定熟悉，因为罗马数字有时候还在使用，比如标注一本书的卷数和章节，或者是在华丽的纪念碑上标明某个历史事件的年代。然而，因为古人在计数方面的需要不超过几千，所以也就不存在更高的十进位制的单位。所以，无论一位古罗马人在算术方面经历过何等优良的训练，当他需要写下“一百万”这样一个数字的时候也会变得手足无措。面对这种要求，他能采取的最好的方法，就是苦干几个小时，连续写下1000个M（图1）。

对古人来说，非常大的数字，如天上的星星有多少个，海里的鱼有多少条，或者海滩上有多少颗沙粒，这些都是“没法数”的，这就跟霍屯督人一样，他们认为“5”是没法数的，因此用“很多”一言以蔽之！

所以，就连公元前3世纪的天才科学家阿基米德（Archimedes）也需要运转他伟大的大脑，认真地得出“写出很大的数目还是可能的”这样一个结论。阿基米德在他的科学论文《数沙器》（Sand Reckoner）中写道：

有人认为，沙粒的数字是无穷大的；这里说的沙粒，我指的不只是在锡拉丘兹（Syracuse）和西西里上的沙粒，而是我们能够在整个世界所有地区找到的沙粒，不管那里是否有人居住。同样，还有一些人，他们并不认为这个数字是无穷大的，并且认为我们无法说出一个足够大的数字，大到能够超过世界上所有沙粒的总和。很显然，这些人认为，他们可以想象一个全部由沙粒组成的庞大体积，它在各方面都足够大，大得像整个世界一样，包括其中所有的海洋和洼地，并且把它全部填充起来，变得像最巍峨的山峰那么高。他们觉得，想象一个能够表达堆在一起的这些沙粒数目的数字是不可能的。但我要在这里证明，我发明了一种命名数字的方法，它不但能够给出用上述方法堆积而成的世界沙粒的数目，甚至可以等于在整个宇宙那么大的体积里全部堆积的沙粒数目。

在这篇著名的论文中，阿基米德提出了一个能够书写非常大的数字的方法，与现代科学中书写大数字的方式类似。他从古希腊算术中最大的数字“myriad”，即一万开始。接着他引入了一个新数字，“一万的一万倍”，就是一亿，把它叫作“octade”，就是“第二级计数单位”。然后是“第三级计数单位”，也就是一亿的一亿倍，即一亿亿。下面还有“第四级计数单位”，即一亿的一亿倍的一亿倍，以此类推。

看上去，书写大数字似乎不过是寻常小事，不值得在一本书中用几页纸的篇幅加以描述，但在阿基米德的时代，找到一种书写大数的方法确实是一个伟大的发现，是数学科学向前发展的重要步骤。

为了计算能够填充整个宇宙的沙粒的数字，阿基米德必须知道宇宙有多大。那个时代的人们相信：宇宙是包在一个水晶球里面的，固定的星辰就镶嵌在球面上。据阿基米德的同代人、萨摩斯著名的天文学家的阿里斯塔克（Aristarchus）估计，从地球到天球的边缘的距离是10,000,000,000个视距，即大约1,000,000,000英里。

在比较了这个球体的体积与一粒沙的大小之后，阿基米德进行了一系列能让中学男生晚上做噩梦的计算，最后得到的结论是：

很显然，在阿里斯塔克估计的天球那么大的空间内，可能包含的所有沙粒的数字不会超过一千万个第八级计算单位。注1

注1：按照我们的计数法，这个数字将是：一千万2级单位3级单位4级单位5级单位（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）x6级单位7级单位8级单位（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）或者简写为：1063，即后面拖上63个零。

我们或许应该在这里指出，阿基米德对宇宙半径的估计远远低于现代科学家们计算出的结果。10亿英里只不过略略大于我们的太阳系中土星这个行星的位置。我们现在已经用望远镜探测到的距离是5,000,000,000,000,000,000,000英里，而填满这样一个可视宇宙的沙粒的数目将会超过10100，即1后面拖着100个零。

这当然远远大于我们在本章开始时陈述的宇宙中所有原子的数目：3×1074，但我们千万不要忘记，宇宙中并不是完全填充着原子；事实上，在整个空间内，平均每立方米只有大约一个原子。

但是，要得到大数字，我们完全没有必要采取将整个宇宙堆满沙粒这类极端的行为。其实这类数字往往会从一些乍一看很简单的问题中跳出来，尽管你觉得其中牵涉的任何数字都不会超过几千。

惨遭这种令人崩溃的数字荼毒的一个例子是印度的舍罕王（King Shirham）。有一个古老的传说，他曾想要赏赐宰相西萨·本·达希尔（Sissa Ben Dahir），因为后者发明并向他奉献了象棋这种游戏。这位聪明的宰相要求的奖赏似乎微不足道。他跪在国王面前说：“陛下，请在棋盘的第一个方格内给我一粒小麦，第二个方格内给我两粒小麦，第三个方格上给我四粒小麦。第四个方格上给我八粒小麦。就这样，请国王陛下每次都把方格上的小麦数加倍，覆盖棋盘上所有64个方格，这就是我要求的赏赐。”

“你的要求很谦卑哦，我忠诚的仆人。”国王说道。他心中窃喜，因为他觉得，这样一种神奇游戏的发明者居然会提出如此小的要求，这样的赏赐与他的珍宝相比不过是九牛一毛。“你的要求我当然恩准了。”然后他叫人将一口袋小麦带到他的宝座前。

于是计数就开始了，第一个方格一粒小麦，第二个方格两粒小麦，第三个方格四粒小麦……结果不到二十个方格，口袋就空了。国王继续叫人拿来小麦袋子，但每一个方格上需要的小麦越来越多。结果情况很快就清楚了：即使把全印度的粮食全部拿出来，国王也无法凑足他答应给达希尔的奖赏。这一份奖赏是18,446,744,073,709,551,615粒小麦！注2

注2：我们可以用下面的算式得出聪明的宰相要求的小麦颗粒数：1+2+22+23+24+…+262+263。在数学中，人们称一系列按照同样的因数（这个粒子中的因数是2）递增的数字为几何级数。可以证明，这样一个级数中的各项和可以用如下方法计算：将常数因数（本例中为2）按照级数中的项数（本例中为64）乘方，减去第一项（本例中为1）然后除以上述常数因数减得到的差。这一过程可以写成：（263×2-1）/（2-1）=264-1。计算所得的数字就是8,446,744,073,709,55,65。

这个数字要比宇宙中的原子总数小，但也相当大了。假定一蒲式耳小麦有大约5,000,000粒，国王就需要四万亿蒲式耳才能满足达希尔的要求，而全世界每年的小麦平均产量大约为2,000,000,000蒲式耳。所以，这位宰相的要求是大约两千年的世界总产量！

就这样，舍罕王发现他欠了自己的宰相一大笔债，要么他需要面对后者持续不断的讨债要求，要么一刀砍掉宰相的脑袋一了百了。我觉得他很可能会选择第二种方法。

还有一个由大数扮演主要角色的故事，也来自印度，与所谓“世界末日”的问题有关。对数学情有独钟的历史学家鲍尔（W. W. R. Ball）是这样讲述这个故事的：

在标志着世界中心的贝拿勒斯（Benares）大寺庙的天穹之下有一个黄铜盘子，上面插着三根金刚石针，每根针有一腕尺高（一腕尺约为20英寸），大概有一只蜜蜂的身体那么粗。创世之初，神灵在其中一根针上插了64块纯金圆盘，最大的那块放在黄铜盘子上，以后的圆盘越来越小，一直到最顶上的那块。这就是梵天（Brahma）之塔，值班的祭师每天日夜不停地把这些圆盘从一根金刚石针上转移到另一根上。按照法则要求，祭师一次只能移动一个圆盘，而且绝对不可以把小的圆盘放到较大的圆盘下面。当用这种方法，祭师们把所有的圆盘都从神灵创世时放着的那根针移到另一根针上的时候，梵天之塔、寺庙和婆罗门祭师们全都会变为尘埃，随着一声雷霆震响，整个世界灰飞烟灭。

图3画出了故事中描述的情况，只是画出的圆盘不到64块。你可以用普通的硬纸板代替黄金、长铁钉代替金刚石针，做一个印度传说中的这个谜语玩具。不难发现，根据移动圆盘必须遵守的规则，你移走一块圆盘需要的步骤是上一块所需要的两倍。也就是说，移走第一块圆盘只要一步，但移走随后的每一块圆盘的步骤数目按几何级数递增。所以，当第64块圆盘被移走时，所有步骤的数目总和与达希尔所要求的小麦粒数相等！注3

注3：如果我们只有7块圆盘，则需要的步骤数就是1+21+22+23+…+26，即27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。如果你的动作很快，也不出错，你将需要大约一小时来完成这一任务。如果有64块圆盘，则需要的步骤总数为264-1=18 446 744 073 709 551 615，与达希尔要求获得的小麦粒数相等。

需要多长时间才能把梵天之塔上所有的64块圆盘从一根针上转移到另一根上呢？不妨假定婆罗门祭师们昼夜不停地干活，没有节假日，每秒移动一次。因为一年有大约31,558,000秒，所以他们需要58万亿年多一点的时间完成这项任务。

让我们比较一下纯粹的传说和现代科学中有关宇宙年龄的预言，结果是很有趣的。根据有关宇宙演化的当前理论，恒星、太阳和包括地球在内的行星是在大约30亿年前由不定形物质凝聚形成的。我们也知道，为恒星，特别是为我们的太阳提供能量的“原子燃料”还可以继续维持100亿到150亿年（见第11章，“创世的岁月”）。所以，宇宙的整个生命周期肯定不到200亿年，更别说印度传说中估计的58万亿年了！但不管怎么说，传说毕竟只是传说。

很可能，人类在文献上提到的最大数字，就是那个著名的“印刷行数问题”中的数字了。假定我们制造了一台印刷机，它能持续不断地、一行接一行地印刷，并自动地为每一行选择字母表中不同字母的组合和另外的印刷符号。这样的机器将由一系列分开的圆盘组成，它们全都在边缘上带有字母和符号。这些圆盘相互啮合的方式与你汽车的里程显示器上的数字圆盘相同，所以每个圆盘转动一整圈会让下一个圆盘向前移动一个位置。纸是整卷的，它随着印刷机的每一次运动自动进入滚筒。制造这样一台自动化印刷机并不很困难，它的样子如图4所示。

我们让这台印刷机开始工作，并检查一下这台印刷机印出来的无穷尽的各种资料。大部分字行没有什么意义，它们看上去就像这个样子：

“aaaaaaaaaaa...”

或者是

“boobooboobooboo...”

或者是

“zawkporpkossscilm...”

但因为这台印刷机印刷的是一切可能的字母和符号的组合，我们可以在这些毫无意义的垃圾印刷品里看到有意义的各种句子，当然其中有许多没有用的句子，如：

“horse has six legs and...”（马有六条腿和……）

或者

“I like apples cooked in terpentin...”（我喜欢吃在松节油里煎过的苹果……）

但经过一番搜索之后，也可以发现莎士比亚写的每一行句子，甚至是一些他本人扔到纸篓里的纸上写的句子！

事实上，这样一台印刷机将印刷人类学会写字以来写下的所有句子：每一行散文和诗歌，报纸上的每一篇社论和广告，科学专著中连篇累牍的每一卷，每一封情书，给送牛奶的人的每一张订单……

而且，这台机器也将印刷人们在今后许多个世纪中会印刷的东西。在那些从滚筒出来的纸张上，我们将会发现30世纪的诗歌，未来的科学发现，即将在第五百届美国国会上发表的演讲，2344年行星交通事故的流水账。将会有一页又一页人们从未动笔书写的短篇和长篇小说，而那些在地下室中放有这种印刷机的出版商，他们只需要在堆成山的废纸堆里扒拉出那些好的作品编辑出版就行了，而这正是他们今天正在做的事情。

为什么做不到这一点？

好吧，就让我们数一数，为了得到所有可能的字母和印刷符号的组合，这台机器应该印刷多少行吧。

英文字母表中有26个字母，10个数字（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9）和14个普通符号（空白、句号、逗号、冒号、分号、问号、惊叹号、破折号、连字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号），这些总共是50个符号。同时也让我们假定，对应平均每个印刷行的65个位置，这台机器有65个机轮。印刷的每一行可以选50个符号中的任何一个开始，所以我们在这里有50种不同的可能性。对应这50种不同的可能性中的每一个，这一行的第二个位置又有50种不同的可能性，加起来就有50×50=2500种不同的可能性。但对于头两个符号的每一个给定的组合，我们都可以对第三个位置做出50种不同的选择，以此类推。总的算起来，整个一行中可能有的安排的数目可以表达为：

50×50×50×…×50，总共65个50相乘的乘积。也就是5065≈10110。

如果你想要感觉一下这样一个数字有多大，你可以让宇宙中的每一个原子代表一台这样的印刷机，于是我们就有了3×1074台同时工作的超级印刷机。然后你可以进一步假定，所有这些印刷机都从宇宙诞生之日开始连续工作，也就是说，它们工作了30亿年，或者说1017秒，而且以原子振动的频率印刷，即每秒印刷1015行。结果，时至今日，它们总共印刷的行数大约是

3×1074×1017×1015=3×10106，

但这只不过达到了要求数字的1/3000。

没错，要从这些自动印刷的材料中做出任何一种选择，你都确实需要勤勤恳恳地工作很长的时间！