5.2　课后习题详解

一、习题

1．在满足假定MLR.1到MLR.4的简单回归中，我们证明了斜率估计量是的一致估计。

利用证明：

[你在使用的同时，还需要使用的一致性和大数定律。]

证明：简单模型为：

期望值是

因为，，，故

移项可得

则有

根据大数定律

又

则对等式两边同时取概率极限得：

2．假设模型

满足前四个高斯—马尔科夫假定，其中，pctstck表示工人养老金投资于股票市场的百分比，funds表示工人可以选择的共同基金的个数，而risktol表示对风险承受能力的某种度量（risktol越大，则表明这个人对风险的承受能力越强）。如果funds和risktol正相关，pctstck对funds简单回归的斜率系数有怎样的不一致性？

答：对风险的承受能力越强，就更愿意在资本市场上投资，因此。假定可供选择的共同基金的个数与个人承受风险的能力是正相关的，使用公式5.5

因此有一个正的不一致性（渐进偏误）。这个结论是有意义的，如果省略个人对风险的承受能力这一变量，而它与可选择的共同基金个数相关，因此估计出来的funds对pctstck的影响实际上包括了risktol对pctstck的影响。

3．数据集SMOKE.RAW包含美国成人个人随机样本在抽烟行为和其他变量方面的信息。变量cigs为（平均）每天抽烟的数量。你是否认为在美国这个总体中，cigs具有正态分布？试做解释。

答：在美国这个总体中，cigs不具有正态分布。大多数人不抽烟，因此对一半以上的美国人而言，cigs＝0，故正态分布随机变量的概率大于零并没有特殊的意义。另外，cigs的分布是左偏的，而正态分布随机变量是对称的。

4．在简单回归模型教材（5.16）中，我们在前4个高斯—马尔科夫假定下证明了，形如教材（5.17）的估计量是斜率的一致估计量。给定这样一个估计量，定义的一个估计量为

证明

证明：简单回归模型为：

则其期望值是：

或

因为，则，。因此

则

现在

可得：

根据大数定律可知：

因此

二、计算机练习

C1．本题使用WAGE1.RAW中的数据。

（i）估计方程

保留残差并画出其直方图。

（ii）以log（wage）作为因变量重做第（i）部分。

（iii）你认为是水平值—水平值模型还是对数—水平值模型更接近于满足假定MLR.6？

答：（i）估计模型为：

526个残差，的直方图如图5-1所示，根据STATA手册中的公式对526个观测值在直方图中使用了27个排序格，通过对比正态分布是适合图中描绘内容的数据分布。

图5-1

（ii）log（wage）作为因变量的估计方程为：

从方程中推出的残差直方图，以及最合适的正态分布重叠图如图5-2所示：

图5-2

（iii）log（wage）回归的残差看起来更符合正态分布，第（ii）部分的直方图的分布密度比第（i）部分直方图更好。wage残差直方图是显著左偏的。在wage的回归中，存在一些很大的残差（甚至等于15），这是基于残差平均值等于0的标准估计误差（）很难支持的。在对数—水平值模型中残差不等于0并没有造成太大的问题，因此，对数—水平值模型更接近于满足假定MLR.6。

C2．本题使用GPA2.RAW中的数据。

（i）使用所有4137个观测，估计方程

并以标准形式报告结论。

（ii）使用前2070个观测再重新估计第（i）部分中的方程。

（iii）求出第（i）部分与第（ii）部分所得到的标准误的比率。并将这个比率与教材（5.10）中的结论相比较。

答：（i）4137个观测值的回归模型为：

（ii）使用开始的2070个观测值的回归模型为：

（iii）使用2070个观测值的标准误与使用4137个观测值的标准误的比率为1.31。根据教材5.10的经验法则，预期标准误的收缩速度为样本容量平方根的倒数。本题中，大于真实标准误的比率，即标准误的收缩速度略慢于样本容量变化速度。

C3．（i）根据第4章的计算机练习C6在第（i）部分中的等式：

获得对于原假设为的LM统计量。

（ii）对于第（i）部分中的检验获得（渐进的）p值。

答：（i）首先进行约束模型的回归，然后将约束回归所得残差对所有变量进行回归为：

构造LM统计量：

因为q等于2，故，置信水平为95%的临界值为7.378。即LM统计量大于临界值，可以拒绝原假设，认为不同时为零。

（ii）LM＝21.4相对应的p值为0.0002254。