第2章　行列式

2.1　考点归纳

一、排列

1．基本定义

（1）由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列．

（2）在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序．一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数．

（3）逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列．

2．基本定理

（1）对换改变排列的奇偶性．

在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n！／2个．

（2）任意一个n级排列与排列12…n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性．

二、n阶行列式

1．定义

（1）n阶行列式

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，即可写成

（2）主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式，对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积．

2．性质

（1）行列互换，行列式不变．

（2）n阶行列式

令k＝0，也就有，如果行列式中一行为零，那么行列式为零．

（3）

如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样．

（4）如果行列式中有两行相同，也就是两行的对应元素都相等，那么行列式为零．

（5）如果行列式中两行成比例，那么行列式为零．

（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变．

（7）对换行列式中两行的位置，行列式反号．

三、行列式按行（列）展开

1．余子式

在行列式

中划去元素a_ij所在的第i行与第j列，剩下的（n－1）²个元素按原来的排法构成一个n－1阶的行列式

称为元素a_ij余子式，记为M_ij．

2．代数余子式

A_ij＝（－1）^i＋jM_ij称为元素a_ij的代数余子式．在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零．

3．范德蒙德行列式

行列式

称为n阶的范德蒙德（Vandermonde）行列式，等于这n个数的所有可能的差a_i－a_j（1≤j≤i≤n）的乘积，也就是．由此可知，范德蒙德行列式为零的充要条件是a₁，…，a_n这n个数中至少有两个相等．

四、行列式的计算

1．矩阵的定义

由sn个数排成的s行（横的）n列（纵的）的表

称为一个s×n矩阵．

n×n矩阵也称n阶方阵．一个n阶方阵

定义一个n阶行列式

称为矩阵A的行列式，记作｜A｜．

2．数域P上的初等行（列）变换

（1）以数域P中一个非零的数乘矩阵的某一行（列）；

（2）把矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列），其中c是P中任意一个数；

（3）互换矩阵中两行（列）的位置．

五、克拉默法则

线性方程组

　  （1）

其系数矩阵为

当b₁，b₂，…，bn不全为0时，（1）为非齐次性方程组．若系数矩阵A非奇异（行列式｜A｜≠0）时，方程组有唯一的解；系数矩阵A奇异（行列式｜A｜＝0）时，方程组有无数个解或无解．

当b₁＝b₂＝…＝b_n＝0时，（1）为齐次性方程组．若系数矩阵A非奇异时，则方程组有唯一的解，其所有分量均为0，通常称这个解为平凡解；若系数矩阵奇异，则（1）有非零解．特别地，系数矩阵行列式时，线性方程组（1）有解，并且解是惟一的，解可以通过系数表为

其中d_j是把矩阵A中第j换成方程组的常数项b₁，b₂，…，b_n，所成的矩阵的行列式，即

以上定理被称为克拉默法则．

六、拉普拉斯定理

1．余子式和代数余子式的推广

（1）余子式

在一个n阶行列式D中任意选定k行k列（k≤n），位于这些行和列的交点上的k²个元素按照原来的次序组成一个k阶行列式M，称为行列式D的一个k阶子式．当k＜n时，在D中划去这k行k列后余下的元索按照原来的次序组成的n－k阶行列式M'称为k阶子式M的余子式．

M也是M'的余子式，所以M和M'可以称为D的一对互余的子式．

（2）代数余子式

设D的k阶子式M在D中所在的行、列指标分别是i₁，i₂，…，i_k；j₁，j₂，…，j_k，则称

M'

为M的代数余子式．

（3）引理

行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致．

2．拉普拉斯定理

在行列式D中任意取定了k（1≤k≤n－1）行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D．

3．行列式的乘积

两个n阶行列式

和

的乘积等于一个n阶行列式

其中c_ij是D₁中的第i行元素分别与D₂的第j列的对应元素乘积之和．