第1章　多项式

1.1　考点归纳

一、一元多项式

1．数环与数域

（1）数环

设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a－b，a·b∈S，则称S是一个数环．

整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．

（2）数域

设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域．

有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．

2．一元多项式

设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a₀，a₁，…，a_n全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．

3．一元多项式环

所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．

二、整除的概念

1．带余除法定义

对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．

带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f（x）的余式．

2．整除定义

如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f（x）则用“g（x）f（x）”表示．

当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．

3．整除性的判别

对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．

注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．

4．整除性的常用性质

（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c为非零常数；

（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；

（3）如果f（x）丨g_i（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u₁（x）g_l（x）＋u₂（x）g₂（x）＋…＋u_r（x）g_r（x）），其中u_i（x）是常数域P上任意的多项式．

三、最大公因式

1．公因式定义

如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．

2．最大公因式

（1）定义

设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g（x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．

（2）引理

如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．

（2）定理

对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使

d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）

可用辗转相除法来求最大公因式．

3．多项式互素

（1）定义

P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g（x）互素（也称互质）．

（2）性质

①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；

②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；

③如果f₁（x）丨g（x），f₂（x）丨g（x），且（f₁（x），f₂（x））＝1，那么f₁（x）f₂（x）丨g（x）；

④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．

四、因式分解定理

1．不可约多项式

（1）定义

数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．

（2）性质

①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p（x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．

②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f₁（x），f₂（x），…，f_s（x）的乘积f₁（x），f₂（x），…，f_s（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．

2．因式分解及惟一性定理

（1）惟一性定理

数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p₁（x）p₂（x）…p_s（x）＝q₁（x）q₂（x）…q_t（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有p_i（x）＝c_iq_i（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．

（2）因式分解

在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为

其中c是f（x）的首项系数，p₁（x），p₂（x），…，p_s（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r₁，r₂，…，r_s是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．

五、重因式与多项式的根

1．重因式定义

如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝1，那么p（x）称为f（x）的单因式．如果k＝0，那么p（x）根本不是f（x）的因式．

2．重因式的判别

（1）如果不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），那么它是微商f＇（x）的k-1重因式，也是f（x），f＇（x），…，f^（k-1）（x）的因式，但不是f^（k）（x）的因式．

（2）不可约多项式p（x）是f（x）的重因式的充分必要条件为p（x）是f（x）与f＇（x）的公因式．

（3）多项式f（x）没有重因式的充分必要条件是f（x）与f＇（x）互素．

3．余数定理

用一次多项式x－α去除多项式f（x），所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f（α）．

4．多项式的根

α是f（x）的根的充分必要条件是（x－α）丨f（x）．若（x-α）是f（x）的k重因式，称α为f（x）的k重根，当k＝1时，α是单根；当k＞1是，α称为重根．

六、复系数与实系数多项式的因式分解

1．代数基本定理

每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根，等价于：每个次数≥1的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式．由此可以推出，P[x]中n次多项式（n≥0）在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算．

2．复系数多项式因式分解定理

每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以惟一地分解成一次因式的乘积．复系数多项式具有标准分解式

其中α₁，α₂，…，α_s是不同的复数，l₁，l₂，…，l_s是正整数．标准分解式说明了每个n次复系数多项式恰有n个复根（重根按重数计算）．

3．实系数多项式因式分解定理

每个次数≥l的实系数多项式在实数域上都可以惟一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．