第二节　随机变量及其分布

一、随机变量

1．概念

表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，它们的取值用相应的小写字母x，y，z等表示。

2．分类

①离散型随机变量

假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则称此随机变量为离散随机变量，或离散型随机变量。

②连续型随机变量

假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间（a，b），则称此随机变量为连续随机变量，或连续型随机变量，其中a可以是-∞，b可以是+∞。

二、随机变量的分布

随机变量的分布包含的内容：

（1）X可能取哪些值，或在哪个区间上取值。

（2）X取这些值的概率各是多少，或X在任一区间上取值的概率是多少？

（即随机变量取值的规律性）

1．离散随机变量的分布

离散随机变量的分布可用分布列表示，譬如，随机变量X仅取n个值：x₁，x₂，…，x_n，X取x₁的概率为p₁，取x₂的概率为p₂，……，取x_n的概率为p_n，如表1.2-1所示。

表1-1  离散型随机变量的分布

离散型随机变量还可以用一个简明的数学式子表示：

p_i满足两个条件：p_i≥0，p₁+P₂+…+p_n＝1。满足这两个条件的分布称为离散分布，这一组p_i也称为分布的概率函数。

【例题1.2.1】设随机变量X的分布列为，下列有关均值的计算中，正确的是（　　）。[2008年真题]

A．E（X）=-0.1

B．E（2X）=-0.2

C．E（3X+1）=0.4

D．E（4X-2）=1.2

【答案】C

【解析】离散型随机变量的均值为：E（X）==（-2）×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2。又根据随机变量（或其分布）的均值运算的性质可得：E（2X）=2E（X）=-0.4；E（3X+1）=3E（X）+1=0.4；E（4X-2）=4E（X）-2=-2.8。

2．连续随机变量的分布

连续随机变量X的分布可用概率密度函数p（x）表示。概率密度函数p（x）是连续随机变量特有的概念。

概率密度函数p（x）的性质

（1）p（x）一定位于x轴上方，即p（x）≥0；

（2）p（x）与x轴所夹的面积恰好为1，即。

（3）连续随机变量x在区间[a，b]上的取值的概率P（a≤X≤b）为概率密度曲线下，区间[a，b]上所夹曲边梯形面积（如图1-9所示）。（概率密度函数覆盖在区间[a，b]上的面积）。

图1-9  P（a≤X≤b）＝阴影区域面积

（4）连续随机变量X取一点的概率为零，即P（X＝a）＝0，因为在一点上的积分永为零。

（5）P（a≤X≤b）＝P（a≤X＜b）＝P（a＜X＜b）。

（6）连续随机变量X的分布函数F（x）可用其密度函数算得，即：

【例题1.2.2】标准正态随机变量X取一点a的概率P（X＝a）为（　　）。[2007年真题]

A．1 

B．0  

C．Φ（a） 

D．Φ（-a）

【答案】B

【解析】标准正态随机变量为连续型随机变量，连续随机变量X取一点的概率为零，即P（X＝a）＝0。

【例题1.2.2】一次电话通话时间X是一个随机变量（单位：分），X的分布函数为：

当你走进公用电话亭时，恰好有一个人在你前面开始打电话，你的等待时间不超过3分钟的概率是（　　）。[2008年真题]

A．e^-1

B．1-e^-1

C．3e^-1/3

D．1-e^-1/3

【答案】B

【解析】等待时间不超过3分钟的概率P（0＜X＜3）=F（3）-F（0）=-0=1-e^-1。

三、随机变量分布的均值、方差与标准差

1．均值

均值用来表示分布的中心位置（即取值的平均水平），用E（X）表示。其计算公式为：

2．方差

方差表示分布的散布大小，用Var（X）表示，方差大意味着分布的散布程度较大，也即分布较为分散；方差小意味着分布的散布程度小，也即分布较集中。其计算公式为：

3．标准差

方差的量纲是X的量纲的平方，为使表示分布散布大小的量纲与X的量纲相同，常对方差开平方，并记为σ即：

方差正的平方根称为标准差，由于σ与x的量纲相同，在实际中更常使用标准差σ来表示分布散布的大小。

4．随机变量的均值与方差的运算性质

（1）设X为随机变量，a与b为任意常数，则有：

（2）对任意两个随机变量X₁与X₂，有：

（3）设随机变量X₁与X₂独立，则有：

注意：方差的这个性质不能推到标准差场合，即对任意两个相互独立的随机变量X₁与X₂，σ（X₁＋X₂）≠σ（X₁）＋σ（X₂），而应该是。或者说，对相互独立随机变量来说，方差具有可加性（并且可推广到两个以上相互独立的随机变量），而标准差不具有可加性。

【例题1.2.3】等式Var（X＋Y）＝Var（X）＋Var（Y）成立的条件是（　　）。[2010年真题]

A．X与Y相互独立

B．X与Y同方差

C．X与Y同分布

D．X与Y同均值

【答案】A

【解析】随机变量X与Y独立时，X取什么值不影响另一个随机变量Y的取值，有：Var（X+Y）=Var（X）+Var（Y）。这个性质也可推广到三个或更多个相互独立随即变量场合。

【例题1.2.4】一个U形装配件由A、B、C三部分组成，见下图1-10所示。

图1-10

其中A的长度X_A服从均值为10，标准差为0.1的正态分布，B与C的长度X_B与X_C均服从均值为2，标准差为0.05的正态分布（单位均为毫米），若X_A、X_B、X_C相互独立，则长度X_D的均值与标准差分别为（　　）。[2006年真题]

A．E（X_D）＝8

B．E（X_D）＝6

C．σ（X_D）＝0.1414

D．σ（X_D）＝0.1225

E．σ（X_D）＝0.324

【答案】BD

【解析】根据题意，X_D＝X_A-X_B-X_C，因为X_A、X_B、X_C相互独立，则

E（X_D）＝E（X_A-X_B-X_C）＝E（X_A）-E（X_B）-E（X_C）＝10-2-2＝6；

σ（X_D）＝σ（X_A-X_B-X_C）＝

四、常用分布

（一）常用离散分布

1．二项分布

二项分布满足的条件：

（1）重复进行n次随机试验；

（2）n次试验间相互独立，即每一次试验结果不对其他次试验结果产生影响；

（3）每次试验仅有两个可能结果；

（4）每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1-p。

在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，则X是可以取0，1，…，n等n＋1个值的离散随机变量，且它的概率函数为：

此分布称为二项分布，记为b（n，p），其中是从n个不同元素中取出x个的组合数，其计算公式为：

。

二项分布b（n，p）的均值，方差与标准差分别为：

特例：n=1的二项分布称为二点分布。它的概率函数为：

【例题1.2.5】下列随机变量中，服从二项分布的有（　　）。[2012年真题]

A．一批铸件中某个铸件上的缺陷数

B．某顾客的等待时间

C．一本书中某页上的错别字数

D．某成绩稳定的选手，50次射击中命中靶心的次数

E．随机抽取的10件产品中不合格品数

【答案】DE

【解析】二项分布应满足的条件有：①重复进行n次随机试验。如把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量等。②n次试验间相互独立，即一次试验结果不对其他次试验结果产生影响。③每次试验仅有两个可能结果，如正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有该特性。④每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1-p。AC两项服从泊松分布；B项服从指数分布。

【例题1.2.6】设某二项分布的均值等于3，方差等于2.7，则二项分布参数p＝（　　）。[2006年真题]

A．0.9 

B．0.1

C．0.7 

D．0.3

【答案】B

【解析】二项分布记为b（n，p），有E（X）＝np，Var（X）＝np（1-p）。代入数据可得np＝3，np（1-p）＝2.7，所以p＝0.1。

2．泊松分布

泊松分布可用来描述不少随机变量的概率分布。

例如：

（1）在一定时间内，电话总站接错电话的次数；

（2）在一定时间内，某操作系统发生的故障数；

（3）一个铸件上的缺陷数；

（4）一平方米玻璃上气泡的个数；

（5）一件产品因擦伤留下的痕迹个数；

（6）一页书上的错字个数。

泊松分布总与计点过程相关联，并且计点是在一定时间内、或一定区域内、或一特定单位内的前提下进行的，若λ表示某特定单位内的平均点数（λ＞0），又令X表示某特定单位内出现的点数，则X取x值的概率为：

这个分布就称为泊松分布，记为P（λ），其中e为自然对数的底，即2.71828…

泊松分布的均值与方差均为λ，即：。

【例题1.2.7】下列分布中，最适合描述光盘表面缺陷数的是（　　）。[2008年真题]

A．正态分布

B．二项分布

C．泊松分布

D．指数分布

【答案】C

【例题1.2.8】设随机变量X服从λ＝2的泊松分布，则P（X≤2）＝（　　）。[2006年真题]

A．e^-2 

B．3e^-2

C．5e^-2 

D．7e^-2

【答案】C

【解析】泊松分布的概率函数为，则P（X≤2）＝P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝。

3．超几何分布

从一个有限总体中进行不放回抽样常会遇到超几何分布。

设有N个产品组成的总体，其中含有M个不合格品。若从中随机不放回地抽取n个产品，则其中不合格品的个数X是一个离散随机变量。可以求得X＝x的概率是：

其中r＝min（n，M），这个分布称为超几何分布，记为h（n，N，M）。

超几何分布h（n，N，M）的均值与方差分别为：

（二）正态分布

1．正态分布的概率密度函数

正态分布的概率密度函数形式：

它的图形是对称的钟形曲线，常称为正态曲线（如图1-11）。

图1-11  正态曲线，μ为正态分布中心，μ±σ为拐点

正态分布含有两个参数μ与σ，记为N（μ，σ²）。其中μ为正态分布的均值，它是正态分布的中心，质量特性X在μ附近取值的机会最大，p（x）关于x=μ对称。σ²是正态分布的方差，σ＞0是正态分布的标准差，σ愈大，分布愈分散；σ愈小，分布愈集中；p（x）在μ±σ处有拐点（二阶导数为零）。

固定标准差σ时，不同的均值，如μ₁＜μ₂，对应的正态曲线的形状完全相同，仅位置不同，见图1-12（a）。

固定均值μ时，不同的标准差，如σ₁＜σ₂，对应的正态曲线的位置相同，但形状（高低胖瘦）不同，见图1-12（b）。

图1-12  正态曲线的比较

【例题1.2.9】u_α是标准正态分布N（0，1）的α分位数，则有（　　）。[2010年真题]

A．u_α+u_1-α=1

B．u_α-u_1-α=1

C．u_α+u_1-α

D．u_α-u_1-α=0

【答案】C

【解析】根据正态分布的对称性，知μ_1-α=-μ_α，则μ_α+μ_1-α=μ_α+（-μ_α）=0。

2．标准正态分布

μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布，记为N（0，1）。服从标准正态分布的随机变量记为U，它的概率密度函数记为，其图形如图1-13。

图1-13  标准正态分布的概率密度函数的图形

（1）标准正态分布函数Φ（u）表，用来计算形如“U≤u”的随机事件发生的概率，即标准正态分布函数Φ（u）＝P（U≤u）。根据u的值可在标准正态分布函数表上查得。如P（U≤1.52）＝Φ（1.52）＝0.9357，如图1-14所示。

图1-14  P（U≤1.52）＝0.9357

（2）P（U＞a）＝1-Φ（a），如图1-15所示。

图1-15  P（U＞1.52）＝1-Φ（1.52）＝0.0643

（3）Φ（-a）＝1-Φ（a），如图1-16所示。

图1-16  Φ（-1.52）＝1-Φ（1.52）

（4）P（a≤U≤b）＝Φ（b）-Φ（a）,如图1-17所示。

图1-17  P（-0.75≤U≤1.52）

＝P（U≤1.52）-P（U≤-0.75）＝Φ（1.52）-Φ（-0.75）

（5）P（︱U︱≤a）＝2Φ（a）-1，如图1-18所示。

图1-18  P（︱U︱≤1.52）＝P（-1.52≤U≤1.52）

＝Φ（1.52）-Φ（-1.52）＝2Φ（1.52）-1

3．标准正态分布N（0，1）的分位数

对概率等式P（U≤1.282）＝0.9的两种不同说法

（1）0.9是随机变量U不超过1.282的概率。

（2）1.282是标准正态分布N（0，1）的0.9分位数，也称为90％分位数或90分位数，记为u_0.9。

第（2）种说法有新意：0.9分位数u_0.9把标准正态分布密度函数下的面积分为左右两块，左侧一块面积恰好为0.9，右侧一块面积恰好为0.1，如图1-19。

图1-19  N（0，1）的0.9分位数U_0.9

对介于0与1之间的任意实数α，标准正态分布N（0，1）的α分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为α，它的右侧面积恰好为1-α。如图1-20所示。用概率的语言表示，U（或它的分布）的α分位数u_α是满足下面等式的实数：

P（U≤u_α）＝α

分位数u_α可用标准正态分布表从里向外查得，尾数可用内插法得到。（即无法查表直接得到的分位数）

图1-20  N（0，1）的α分位数u_α

【例题1.2.10】u_α是标准正态分布N（0，1）的α分位数，则有（　　）。[2007年真题]

A．u_0.25＞0　

B．u_0.35＜u_0.36

C．u_0.45＋u_0.55＝0 

D．u_0.5＝0

E．u_0.45＋u_0.55＝1

【答案】BCD

【解析】标准正态分布的α分位数uα的性质：①uα是α的增函数；②当α＜0.5时，uα＜0；当α＝0.5时，uα＝0；当α＞0.5时，uα＞0；③uα+u_1－α＝0。

4．有关正态分布的计算

（1）重要性质

性质1：（标准化变换）

性质2：设，则对任意实数a，b有：

其中Φ（·）为标准正态（累积）分布函数，其函数值可从标准分布函数表中查得。

【例题1.2.11】已知X～N（1，2²），Y～N（3，4²），则P₁=P（0＜X≤2）和P₂=P（3＜Y≤5）的关系是（　　）。[2012年真题]

A．P₁＜P₂

B．P₁＞P₂

C．P₁=4P₂

D．P₁=P₂

【答案】B

【解析】根据正态分布的重要性质，X～N（μ,σ²）,则U=～N（0,1）。

因为X～N（1，2²），Y～N（3，4²），所以P₁＞P₂。

【例题1.2.12】设X～N（3，32），则P（2X²>18）=（　　）。[2008年真题]

A．2Φ（3）-1

B．1-[Φ（0）-Φ（-2）]

C．0．5+Φ（-2）

D．1．5-Φ（2）

E．2Φ（3）

【答案】BCD

【解析】因为X～N（3，32），所以～N（0,1）。P（2X²>18）=P（|X|>3）=P（X>3）+P（X<-3）==1-Φ（0）+Φ（-2）=1-0.5+Φ（-2）=0.5+Φ（-2）=0.5+1-Φ（2）=1.5-Φ（2）。

（2）产品质量特性X的不合格品率的计算

产品某个质量特性X的不合格品率的计算要知道两件事：

①质量特性X的分布，在过程受控情况下，X的分布常为正态分布N（μ，σ²），这是稳定过程的概括。

②产品的规格限，常包括上规格限T_U和下规格限T_L，这些都是用文件形式对产品特性所作的要求，这些要求可能是合同规定、某个公认的标准、也可能是企业下达的生产任务书。

明确了这两点后，产品质量特性X的不合格品率为：

p＝p_L＋p_U

其中，P_L为X低于下规格限的概率，p_U为X高于上规格限的概率（如图1-21），即：

图1-21  不合格品率p＝p_L＋p_U

（三）其他连续分布

1．均匀分布

均匀分布在两端点a与b之间有一个恒定的概率密度函数，即在（a，b）上概率密度函数是一个常数，如图1-22所示。区间（a，b）上的均匀分布，常记为U（a，b）。其概率密度函数计算公式：

图1-22  均匀分布U（a，b）

均匀分布U（a，b）的均值、方差与标准差：

2．对数正态分布

对数正态分布的特点：

（1）随机变量都在正半轴（0，∞）上取值；

（2）随机变量的大量取值在左边，少量取值在右边，并且很分散，这样的分布称为“右偏分布”（如图1-23（a））；

图1-23  对数正态分布

（3）最重要的特征：若随机变量X服从对数正态分布，则经过对数变换Y＝lnX（ln是自然对数）后服从正态分布；

（4）若记正态分布的均值为μ_Y，方差为σ_Y²，则相应的对数正态分布的均值μ_X与方差σ_X²分别为：

（5）为求对数正态变量X的有关事件的概率，经过对数变换后可转化为求相应正态变量Y＝lnX的相应事件的概率，如：

3．指数分布

概率密度函数：

服从指数分布的随机变量X仅取非负实数，即仅在[0，∞）上取值，指数分布的概率密度函数的图形如图1-23所示。它的分布函数F（X）的表达式：

从而事件“X在区间（a，b）上取值”的概率为图1-24上阴影的面积，它的计算公式为：

。

图1-24  指数分的概率密度曲线

P（a＜X＜b）＝F（b）-F（a）

指数分布Exp（λ）的均值、方差与标准差：

【例题1.2.13】一次电话的通话时间X是一个随机变量（单位：分），设X服从指数分布Exp（λ），其中λ＝0.25，则一次通话所用的平均时间E（X）与标准差σ（X）各为（　　）。

A．E（X）＝2 

B．E（X）＝4  

C．σ（X）＝4 

D．σ（X）＝16

E．σ（X）＝20

【答案】BC

【解析】指数分布Exp（λ）的均值与标准差相等,且都为λ^-1，因此E（X）＝σ（X）＝1/0.25＝4（分）。

总结：

表1-2  常用分布表

五、中心极限定理

1．随机变量的独立性

两个随机变量X₁与X₂相互独立是指其中一个的取值不影响另一个的取值，或者说是指两个随机变量独立地取值。随机变量的相互独立性可以推广到三个或更多个随机变量上去。

基本假定：

X₁，X₂，…，X_n是n个相互独立同分布的随机变量。

基本假定的含义

（1）X₁，X₂，…，X_n是n个相互独立的随机变量；

（2）X₁，X₂，…，X_n有相同的分布，且分布中所含的参数也都相同。

样本均值：

n个相互独立同分布的随机变量X₁，X₂，…，X_n的均值称为样本均值，并记为，即：

。

2．正态样本均值的分布

定理1：设X₁，X₂，…，X_n是n个相互独立同分布的随机变量，假如其共同分布为正态分布N（μ，σ²），则样本均值仍为正态分布，其均值不变仍为μ，方差σ²_x＝σ²／n。

该定理表明：在定理1的条件下，正态样本均值服从正态分布。

【例题1.2.14】某种型号的电阻服从均值为1000欧姆，标准差为50欧姆的正态分布，现随机抽取一个样本量为100的样本，则样本均值的标准差为（　　）。[2006年真题]

A．50欧姆 

B．10欧姆

C．100欧姆

D．5欧姆

【答案】D

【解析】根据中心极限定理可知正态分布N（μ，σ²）的样本均值服从正态分布，所以样本均值的标准差为（欧姆）。

3．非正态样本均值的分布

定理2（中心极限定理）：设X₁，X₂，…，X_n为n个相互独立同分布随机变量，其共同分布不为正态或未知，但其均值μ和方差σ²都存在，则在n相当大时，样本均值近似服从正态分布。

该定理表明：无论共同的分布是什么，只要独立同分布随机变量的个数n相当大时，的分布总近似于正态分布。

在统计中一个统计量的标准差称为标准误差，或简称为标准误。无论是正态样本均值或非正态样本均值都有或近似有：，它随着n的增加而减少。

【例题1.2.15】设X₁，X₂，…，X₂₇是来自均匀分布U（0，3）的一个样本，则样本均值的近似分布为（　　）。[2007年真题）

【答案】D

【解析】根据中心极限定理可知则样本均值，其中μ和σ²分别为总体的均值和方差。均匀分布U（0，3）的均值和方差分别为：