第3章　平面机构的运动分析[视频讲解]

3.1　本章要点详解

本章要点

■了解机构运动分析的任务、目的和方法

■运用速度瞬心法作机构的速度分析

■运用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析

■综合运用瞬心法和图解法对复杂机构进行速度分析

■运用解析法对机构进行运动分析

重难点导学

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一、机构运动分析的任务、目的和方法

1．任务

根据机构的尺寸及原动件已知运动规律，求构件中从动件上某点的轨迹、位移、速度及加速度和构件的角位移、角速度及角加速度。

2．目的

了解已有机构的运动性能，是设计新的机械和研究机械动力性能的必要前提。

3．方法

（1）图解法

简捷直观了解机构某些位置运动特性，缺点是求解不够精确。

（2）解析法

精确知道机械整个运动中特性，但是通常需要借助计算机。

二、运用瞬心法作机构的速度分析

1．速度瞬心及其位置的确定

（1）速度瞬心

①定义

互作平面相对运动的两构件上瞬时速度相等的重合点称为速度瞬心。常以符号表示构件i、j间的瞬心。

②分类

a．绝对瞬心：v_P＝0，即瞬心处速度为零。

b．相对瞬心：v_P≠0，即瞬心处速度不为零。

③瞬心总数K

机构中每两构件就有一个瞬心，故由N个构件组成的机构的瞬心总数K为

（2）瞬心位置的确定

①根据定义确定

a．以转动副相连接的两构件（图3-1-1）的瞬心就在转动副的中心处；

图3-1-1  转动副

b．以移动副相连接的两构件（图3-1-2）的瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处；

图3-1-2  移动副

c．以平面高副相连接的两构件的瞬心(图3-1-3)，当高副两元素作纯滚动时就在接触点处，当高副两元素间有相对滑动时，其瞬心在接触点处的公法线上。

图3-1-3  平面高副

②根据三心定理确定

三心定理：三个彼此作平面平行运动的构件的三个速度瞬心必位于同一条直线上。

2．用瞬心法作机构的速度分析

在此应用瞬心法以平面铰链四杆机构和平面凸轮为例作典型的平面低副机构和平面高副机构的速度分析。

（1）瞬心法作平面低副的速度分析

如图3-1-4所示，已知原动件2的角速度，求从动件4的角速度和连杆3上点E的速度。

图3-1-4

因为瞬心P₂₄是构件2、4的等速重合点，因此

因瞬心P₁₃为连杆3在图示位置的瞬时转动中心，因此

  (方向垂直于P₁₃E，指向与一致)

（2）瞬心法作平面高副的速度分析

已知凸轮机构各构件尺寸和凸轮角速度如图3-1-5所示，求从动件3的移动速度。

图3-1-5

过高副元素的接触点K作其公法线nn，由前述可知，其瞬心连线的的交点即为瞬心，又因其为构件2、3的等速重合点，因此

（方向垂直向上）

（3）方法要点

①瞬心法只能对机构进行速度分析，不能用于加速度分析；

②构件数目较少时适用。

三、矢量图解法作机构的速度和加速度分析

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1．基本原理

矢量方程图解法又称相对运动图解法，其所依据的基本原理是理论力学中的运动合成原理。

2．基本作法

（1）列出机构的运动矢量方程

对同一构件上两点间的运动矢量，有如下关系：

①速度关系

②加速度关系

式中和分别为点C对点B的相对速度和相对加速度。在图3-1-6中，有以下关系

因、已知，且、和、方向已知，仅大小未知，故两方程有解。

图3-1-6

（2）选取适当比例尺按方程作图求解

①速度比例尺：图中每单位长度所代表的速度大小，单位：。

②加速度比例尺：图中每单位长度所代表的加速度大小，单位：。

对图3-1-6所示机构，取速度比例尺，的单位为。根据速度矢量方程作图如图3-1-7所示。

图3-1-7

取加速度比例尺，的单位为。根据加速度矢量方程作图，如图3-1-8所示。

图3-1-8

在图3-1-7和图3-1-8上分别量取所要求的量对应的长度，再乘以比例尺，即得到所求。

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3．作机构的速度及加速度分析

（1）同一构件上两点间的运动矢量关系

①速度多边形和加速度多边形

由各速度（或加速度）矢量构成的图形称为速度（或加速度）多边形。速度多边形和加速度多边形的特点：

a．由极点ｐ或ｐ＇向外放射的矢量，代表构件上相应点的绝对速度或绝对加速度；

b．连接两绝对速度或两绝对加速度矢端的矢量，分别代表构件上相应两点间的相对速度或相对加速度；

c．相对加速度又可用相对法向加速度和相对切向加速度的矢量和来表示。

图3-1-9

对于图3-1-9，如果要求点D的速度，可根据作图求解。求得其速度矢量图和加速度矢量图分别如图3-1-10和图3-1-11所示。

图3-1-10

图3-1-11

②速度影像及加速度影像

图3-1-12

对于图3-1-12，为求点D的速度，可根据方程

作图求解。求得其速度矢量图和加速度矢量图分别如图3-1-13和图3-1-14所示。

图3-1-13

图3-1-14

因△BCD∽△bcd，且其脚标字母的顺序方向一致，同理可得△BCD∽△。故把△bcd称为构件△BCD的速度影像。因此，当已知构件上两点的速度时,则构件上其他任一点的速度便可利用速度影像原理求得。同样，加速度关系到中也存在类似的加速度影像原理。

（2）两构件上重合点间的运动矢量关系

同样，对于图3-1-15，构件4、5的重合点D，有以下矢量表达式：

速度矢量表达式

加速度矢量表达式

式中和为点D₅相对D₄的速度和科氏加速度；的方向沿移动副导轨方向；，其方向为相对速度沿牵连角速度的转向转过90°的方向。

图3-1-15

以下是求解过程：

①以同样的速度比例尺，根据速度矢量方程作图；

图3-1-16  速度矢量图

②以同样的加速度比例尺，根据加速度矢量方程作图。

图3-1-17  加速度矢量图

四、综合运用瞬心法和矢量图解法对复杂机构进行运动分析

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1．复杂机构

（1）定义

从机构的等级上来划分，一般是Ⅲ级以上机构和组合机构。

（2）特点

这类机构运动情况较复杂，不能单一地凭借图解法或瞬心法来求解。

2．综合法

综合法是指综合运用瞬心法和矢量方程图解法作机构速度分析的方法。但是综合法不能用于机构的加速度分析。

五、用解析法作机构的运动分析

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1．理论基础

（1）基本思路

①建立机构位置方程；

②将位置方程对时间求导，得到速度和加速度方程；

③通过速度和加速度方程进一步求解。

（2）常用方法

解析法所用的数学工具有很多，常用的有三种：

①矢量方程解析法

②复数矢量法

复数矢量法由于利用了复数运算十分简便的优点，不仅可对任何机构包括较复杂的连杆机构进行运动分析和动力分析，而且可用来进行机构的综合，并可利用计算器或计算机进行求解。

③矩阵法

矩阵法可以方便地运用事先建立的标准计算程序来进行求解，大大减少了工作量。

2．机构的封闭矢量位置方程

在用矢量法建立机构的位置方程时，需将构件用矢量来表示，并作出机构的封闭矢量多边形。

（1）建立一直角坐标系

如图3-1-18所示，设构件l的长度为l₁，其方位角为θ₁，l₁为构件l的杆矢量，即。

图3-1-18

（2）机构的矢量位置方程

机构中其余构件均可表示为相应的杆矢量，这样就形成由各杆矢量组成的一个封闭矢量多边形，即ABCDA。在这个封闭矢量多边形中，其各矢量之和必等于零。即

（3）方程中各矢量的确定

①对于四杆机构，θ₁为已知，而θ₄＝0，故可求得两个未知方位角θ₂及θ₃。

②各杆矢量的方向可自由确定，但各杆矢量的方位角θ均应由x轴开始，并以沿逆时针方向计量为正。

3．复数矢量法

（1）具体作法

①用复矢量写出机构的封闭矢量位置方程；

②将位置复矢量方程对时间求导，即得其速度及加速度的复矢量方程；

③再应用欧拉公式eio＝cosθ＋isinθ分别将这些复矢量方程的实部和虚部分离再联立解之，即可完成机构的运动分析。

（2）分析要点

①位置分析；

②速度分析；

③加速度分析。

用解析法进行机构运动分析的关键是位置方程的建立和求解。至于速度分析和加速度分析只不过是对其位置方程作进一步的数学运算而已。位置方程的求解需解非线性方程组，难度较大；而速度方程和加速度方程的求解，则只需解线性方程组，相对而言较容易。