三、题型分析

（一）数学运算

1．概述

（1）定义

数学运算是指每道题给出一道算术式子或者表达数量关系的一段文字，要求考生熟练运用加、减、乘、除等基本运算法则，并利用其他基本数学知识，准确迅速地计算或推出结果的题型。

（2）考查要点

①数学运算要求考生熟练运用基本的数学知识，依据题目给出的式子或文字，准确迅速地计算或推出结果。

②数学运算考查的知识涵盖从小学到高中的数学基础知识，不是单纯的小学数学题，而是能力测试，是对考生的知识储备量的考查。

③文字型的应用题将会成为数学运算的主流形式，因为它能够更好地测查分析、推理能力。

2．题型

从题干的形式和考查的内容上分析，数学运算题可分为几种不同类型。为了更加高效的解题，在考试当中争分夺秒，我们需要熟悉各个题型特点，优化解题思路。从历年考试当中可看出数学运算题主要题型有：计算问题、几何问题、组合问题、行程问题、比例问题和其他问题。

（1）计算问题

①数的性质

【例1】有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，求这个整数是（　　）。

A．44

B．43

C．42

D．41

【答案】D

【解析】由题意可知，所求整数能够整除157＋324＋234－100＝615，615÷41＝15。因此答案选D。

【例2】有四个自然数A，B，C，D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是（　　）。

A．216

B．108

C．314

D．348

【答案】C

【解析】A＝B×5＋5＝5×（B＋1），A＝C×6＋6＝6×（C＋1），A＝D×7＋7＝7×（D＋1），故A是5、6、7的倍数，又因为5，6，7的最小公倍数是210，所以A是210的倍数，而A不超过400，故A＝210，代入上述余数基本恒等式，得B＝41，C＝34，D＝29，即这四个自然数的和是A＋B＋C＋D＝314。

【例3】2011×201＋201100－201.1×2910的值为（　　）。

A．20110

B．21010

C．21100

D．21110

【答案】A

【解析】2011×201＋201100－201.1×2910＝2011×（201＋100－291）＝2011×10＝20110。

②算式计算

【例1】已知两列数2，5，8，11…… 2＋（100－1）×3；5，9，13，17……5＋（100－1）×4。它们都是100项，则两列数中相同的数有（　　）项。

A．24

B．25

C．26

D．27

【答案】B

【解析】第一个这两个数列中相同的项是5，且第一个数列的公差为3，第二个数列的公差为4，则这两个数列中相同的项既是3的倍数又是4的倍数，所求即转换为求首项为5，公差为12的等差数列的项数，又第一个数列最大的数为2＋（100－1）×3＝299，第二个数列最大的数为5＋（100－1）×4＝401，新数列最大不能超过299，又5＋12×24＝293，5＋12×25＝305，则两列数中相同的数有25项。

【例2】小明今年（1995年）的年龄是他出生那年的年份的数字之和。问：小明今年多少岁？（　　）

A．21

B．24

C．18

D．20

【答案】A

【解析】设小明出生时是19ab，则1＋9＋a＋b＝95－10a－b，从而11a＋2b＝85。当a≥8时，11a＋2b＞85；当a≤6时，11a＋2b≤66＋2×9＝84，所以必有a＝7，b＝4，即小明今年是1＋9＋7＋4＝21岁。

【例3】如x⊕y＝x2＋y2，则3⊕1⊕3＝（　　）。

A．109

B．100

C．120

D．160

【答案】A

【解析】3⊕1＝32＋12＝10，则3⊕1⊕3＝10⊕3＝102＋32＝109。

（2）几何问题

①平面几何问题

【例】一个正三角形和一个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三角形的（　　）。

A．倍

B．1.5倍

C．倍

D．2倍

【答案】B

【解析】设正三角形和一个正六边形的周长为6，六边形的边长为1，三角形的边长为2；正六边形可以分成6个边长为1的小正三角形，边长为2的正三角形可以分成4个边长为1的小正三角形。所以正六边形面积:正三角形的面积＝6:4，即正六边形面积为正三角形的1.5倍。

②立体几何问题

【例】工作人员做成了一个长60厘米、宽40厘米、高22厘米的箱子，因丈量错误，长和宽均比设计尺寸多了2厘米，而高比设计尺寸少了3厘米，那么该箱子的表面积与设计时的表面积相差多少平方厘米？（　　）

A．4

B．20

C．8

D．40

【答案】C

【解析】由题意可知，原设计的箱子的表面积为2×（58×38＋38×25＋58×25），尾数为8，加工后的箱子表面积为2×（60×40＋60×22＋40×22），尾数为0，则表面积差为2×（58×38＋38×25＋58×25）－2×（60×40＋60×22＋40×22），8－0＝8平方厘米。

③几何性质问题

【例】N是正方形ABCD内一点，如果NA:NB:NC＝2:4:6，则∠ANB的度数为（　　）。

A．120°

B．135°

C．150°

D．以上都不正确

【答案】B

【解析】过B作BN′⊥BN，且使BN′＝BN，连接N′A，N′N，如下图所示，因为∠N′BN＝∠ABC＝90°，得∠N′BA＝∠NBC。又因为AB＝BC，BN′＝BN，有△N′AB≌△NCB，则N′A＝NC，设NB＝4x，NC＝N′A＝6x。在直角△NBN′中，∠NN′B＝45°，且NN′＝4x，在△N′AN中，N′A＝N′N，所以∠N′NA＝90°，得∠ANB＝135°。

图1-1

④平面解析几何

【例】在平面直角坐标系中，如果点P（3a－9，1－a）在第三象限内，且横坐标纵坐标都是整数，则点P的坐标是（　　）。

A．（－1，－3）

B．（－3，－1）

C．（－3，2）

D．（－2，－3）

【答案】B

【解析】点P在第三象限，则横坐标和纵坐标都小于0，即3a－9＜0，1－a＜0，解得1＜a＜3。由于横纵坐标都是整数，所以a是整数，则a＝2。因此P点坐标为（－3，－1）。

（3）组合问题

①常规排列组合

【例】由0，1，2，3，4，5六个数组成的六位数从小到大排列，第五百个数是多少？（　　）

A．504123

B．504213

C．504132

D．504231

【答案】C

【解析】由1为最高位，则根据排列组合规律，共有5×4×3×2×1＝120个数，同理，以2为最高位也有120个数，依次类推，500÷120＝4…20，则第500个数是以5为最高位、从小到大排列的第20个数字。以5为最高位，0为下一位的数字有4×3×2×1＝24个。所以所求数字是以5为首位，0为万位的数。以1为千位上的数，则有3×2×1＝6个数字，故所求数字的千位上的数不为1。以2为千位上的数字同理有6个数字，6＋6＝12，不到20。20÷6＝3…2，依此类推可知千位数字为4的数字中有所求数字，且是千位为4的数字中第二小的数字。因此该数字为504132。

②概率问题

【例】有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系。只是随机安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少？（　　）

A．不超过1％

B．超过1％

C．在5‰到1％之间

D．在1‰到5％之间

【答案】D

【解析】不附加任何条件，10人环线排列的情况总数是＝9！；5对夫妇都相邻而坐，则可以看成由两步来完成，首先把每对夫妇看成一个人，5个人环线排列，然后考虑每对夫妇内部的顺序。第一步有＝4！种情况；第二步有2×2×2×2×2＝32种情况。所以情况总数是4！＝32。5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率＝＝＝，这个数的值应该略大于＝2‰，D项最接近。

③容斥原理

【例】某地区目前就业状况如下：有2900人报考公务员，博士生有450人，研究生有600人，大学生有1200人，专科生有650人。要保证考上公务员的有600人是同一学历，问至少有多少人考上公务员？（　　）

A．2248人

B．601人

C．2150人

D．1200人

【答案】A

【解析】由题意可知，每一类别都有尽可能多的人考上，但是不到600人。此时，再多一人，就达到了600人，则研究生599人，大学生599人，专科生599人，博士生450人，即最少有599×3＋450＋1＝2248人,即最少有599×3＋450＋1＝2248人。

④抽屉原理

【例】对若干人进行测试，一共5道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。考官说这次测试至少有3个人每道题的得分都一致。则至少有多少人参加测试？（　　）

A．450

B．488

C．243

D．487

【答案】D

【解析】每道题都有3种得分的可能性，则得分情况共有35＝243种，则至少有243×（3－1）＋1＝487人参加测试。

（4）行程问题

①初等行程问题

【例】一个人从家到公司，当他走到路程的一半的时候，速度下降了10％，问：他走完全程所用时间的前半段和后半段所走的路程比是（　　）。

A．10:9

B．21:19

C．11:9

D．22:18

【答案】B

【解析】设前半程速度为10，则后半程速度为9，路程总长为180，则前半程用时9，后半程用时10，总耗时19，一半为9.5。因此前半段时间走过的路程为90＋9×（9.5－9）＝94.5，后半段时间走过的路程为9×9.5＝85.5。两段路程之比为94.5:85.5＝21:19。

②相遇问题

【例】甲车从A地，乙车和丙车从B地同时出发，相向而行。已知甲车每小时行65公里，乙车每小时行73公里，丙车每小时行55公里。甲车和乙车相遇后，经过15小时又与丙车相遇，那么A、B两地相距（　　）公里。

A．10100

B．13800

C．10600

D．14800

【答案】B

【解析】由题意可知，设从出发到甲乙相遇经过了t小时，得65×15＋55×15＋55t＝73t，得t＝100；A、B两地的距离应为：65×100＋73×100＝13800公里。

③追及问题

【例】甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程；如两人同时从同一点出发同向而行，问跑得快的人第一次追上另一人时跑了多少米？（　　）

A．600

B．800

C．1000

D．1200

【答案】C

【解析】由“第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程”可知，两个人分别跑了250米和150米，两人相差250－150＝100米。若两人同时从同一点出发同向而行，跑得快的人第一次追上另一人时定多跑了400米，而速度未变，则此时跑得快的人跑了400÷100×250＝1000米。

④行船问题

【例】小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把空塑料水壶掉进江中，当他们发现并调过头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？（　　）

A．0.2小时

B．0.3小时

C．0.4小时

D．0.5小时

【答案】D

【解析】根据题意，小船调转船头追水壶时为顺流，小船的顺流速度是4＋2＝6千米/时；此时水壶与船已经相距2千米，即追及路程是2千米，水壶的速度即为水流速度，则追及时间为＝0.5小时。

⑤其他行程问题

【例】一条环形赛道前半段为上坡，后半段为下坡，上坡和下坡的长度相等，两辆车同时从赛道起点出发同向行驶，其中A车上下坡时速相等，而B车上坡时速比A车慢20％，下坡时速比A车快20％。问在A车跑到第几圈时，两车再次齐头并进？（　　）

A．22

B．23

C．24

D．25

【答案】D

【解析】设A车速度为ν，则B车上坡速度为0.8ν、下坡速度为1.2ν，由等距离平均速度公式可知，B车完成一圈的平均速度为＝＝O.96ν，则A车与B车的速度之比为25:24，即A车完成25圈时，两车同时回到起点。

（5）比例问题

①工程问题

【例】一项工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天。甲、乙、丙三人共同完成该工程需（　　）。

A．10天

B．12天

C．8天

D．9天

【答案】A

【解析】设工作量为90，则甲效率为3，甲效率＋乙效率＝5，乙效率＋丙效率＝6，即甲效率为3，乙效率为2，丙效率为4，则三人合作所需时间为90÷（3＋2＋4）＝10天。

②浓度问题

【例】10个完全一样的杯子，其中6个杯子装有10克酒精，4个杯子装有10克纯水。如果从中随机拿出4个杯子将其中的液体进行混合，问最终得到50％酒精溶液的可能性是得到75％酒精溶液的可能性的多少倍？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】每个杯子液体质量均为10克，则4杯液体的总质量为40克，若混合液浓度为50％，则要求酒精为20克，即2杯，此时水也应该为2杯；混合液浓度为75％，则要求酒精为30克，即3杯，则此时水应该为1杯；得到50％浓度混合液的概率为，得到75％浓度混合液的概率为，两个概率相除得。

③钟表问题

【例】4时30分后，时针与分针第一次成直线的时刻为（　　）。

A．4时40分

B．4时45分

C．4时54分

D．4时57分

【答案】C

【解析】时针一小时走30度，每分钟走0.5度；分针1分钟走6度。四点半时，时针与分针的夹角是45度，则第一次成直线需要（180－45）÷（6－0.5）＝24又分，即4点54又分时第一次成直线。

④牛吃草问题

【例】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可以在9周内吃光，21只猴子可以在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）（　　）

A．2周

B．13周

C．4周

D．5周

【答案】C

【解析】设一只猴子每周吃的野果量为1个单位，每周生长的野果量为（21×12－23×9）÷（12－9）＝15个单位。原有的野果量为（23－15）×9＝72个单位。所以33只猴子一共可以吃72÷（33－15）＝4周。

（6）其他问题

①年龄问题

【例】赵先生34岁，钱女士30岁。一天他们碰上了赵先生的三个邻居，钱女士问起了他们的年龄，赵先生说：他们三人的年龄各不相同，三人的年龄之积是2450，三人的年龄之和是我俩年龄之和。问三个邻居中年龄最大的是多少岁？（　　）

A．42

B．45

C．49

D．50

【答案】D

【解析】三人年龄之积为2450＝1×2×5×5×7×7，但同时三人年龄之和必须为64，则有10×5×49＝2450，10＋5＋49＝64，即最大的为49岁。

②日期问题

【例】小孙出差归来，发现日历有好几天没翻了，就一次翻了6张，这6天的日期数字加起来是123，请问今天的日期应该是（　　）。

A．26号

B．24号

C．23号

D．21号

【答案】B

【解析】6个日期数之和是123，平均数就是123÷6＝20.5，也就是说中间两天的日期应该是20号和21号，这6天的日期依次是18、19、20、21、22、23。那么今天的日期应该是24号。

③利润问题

【例】小王周末组织朋友自助游，费用均摊，结账时，如果每人付450元，则多出100元；如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才刚好，这次活动人均费用是（　　）。

A．437.5元

B．438.0元

C．432.5元

D．435.0元

【答案】A

【解析】设参加活动的人数为x，即450x－100＝430x＋60，得x＝8。因此每个人的均摊费用为（450×8－100）÷8＝437.5元。

④统筹规划问题

【例】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺？（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】C

【解析】设买盖饭、水饺、面条的人分别有x、y、z个。由题意则有15x＋7y＋9z＝60，x＋y＋z＝6。两式联立得y＝3（x－1），由于都是整数，所以y只能取0、3、6。由题意可知，y最多取3。

⑤趣味杂题

【例】一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分；回答完全错误或不回答，得0分。至少（　　）人参加这次测验，才能保证至少有3人的得分相同。

A．89人

B．90人

C．91人

D．92人

【答案】C

【解析】由评分标准可知，最高得分为50分，最低得分为0分，由于在0～50分之间，1分、2分、4分、7分、47分、49分不可能出现，故共有51－6＝45种不同得分情况，最不利的情况是每种得分情况都有两个人对应，那么若再加一人，则无论他是哪种得分情况都可以保证至少有3人的得分相同，即至少有45×2＋1＝91人参赛。

3．技巧点拨

公考题量多，时间紧，考生在应试过程中要抓住技巧，快速解题。从分析数学运算的考查点来看，数学运算考查内容并非在于应考者的知识积累，而在于应考者的反应速度及应变能力。因此，考生要善于总结方法，熟练掌握一些基本的解题技巧：

（1）凑整法

利用交换律和结合律，从整数入手，能够帮助考生快速抓住题干的重点，快速进行计算，得出正确答案。

（2）查找隐含规律法

找规律解题是最为明智的选择。在行测中，各个题目或多或少，或明或暗都隐含着一定的规律，考生要善于抓住隐含的规律，总结一类题目的解题策略。

（3）基准数法。基准数字能够为数字运算提供一个大致的标准，提高考生的运算速度。例如：当遇到两个以上的数字相加时，可以找一个合适的中间数作为基准，然后再加上或减去每个加数与基准数的差，从而求得它们之和。

（4）归纳总结、举一反三法

只有善于总结归纳，举一反三，考生才能充分掌握公考的考查规律，提升自己的解题能力。

（5）其他

排除法、比较法等常用的客观题解题技巧的运用会帮助考者快速、准确地选出正确的答案，从而提高答题的效率。