第2章　确知信号［视频讲解］

2.1　本章要点详解

本章要点

■确知信号与非确知信号

■确知信号的频域性质

■确知信号的时域性质

重难点导学

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一、确知信号与非确知信号

信号可分为确知信号和非确知信号，如图2-1所示。

图 2-1  信号的分类

  1．确知信号

可以用明确数学关系式描述的信号称为确知信号，包括周期和非周期信号。

①周期信号

经过一定时间可以重复出现的信号。

②非周期信号

再不会重复出现的信号。包括但不限于以下两种信号：

a．准周期信号：由多个周期信号合成，但各信号频率不成公倍数。

b．瞬态信号：持续时间有限的信号。

2．非确知信号

不能用数学关系式描述的信号称为非确知信号。

3．能量信号和功率信号

无论确知信号还是非确知信号都可以分为能量信号和功率信号。

（1）能量信号

  ①定义

信号的能量是一个正的有限值，即

②特征

信号的振幅和持续时间均有限，非周期性，例如，单个矩形脉冲。

（2）功率信号

  ①定义

信号的平均功率是一个正的有限值，即

②特征

信号的持续时间无限，例如：直流信号、周期信号和随机信号。

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二、确知信号的频域性质

确知信号在频域中的性质，即频率特性，由其各个频率分量的分布表示。它是信号最重要的性质之一，和信号的占用频带宽度和信号的抗噪声能力有密切的关系。

其中信号的频率特性有4种：

（1）功率信号的频谱；

（2）能量信号的频谱密度；

（3）能量信号的能量谱密度；

（4）功率信号的功率谱密度。

1．功率信号的频谱

（1）周期信号的傅里叶级数

设s（t）是一个周期为T₀的周期功率信号。则可展开成指数型傅里叶级数为

  即功率信号可以分解为谐波频率为，复振幅为的指数信号的线性组合。其中，傅里叶级数的系数为

式中，；n为整数，；傅里叶系数反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此称为信号的频谱。

（2）非周期信号的傅里叶变换

  傅里叶变换为

  傅里叶反变换为

幅频表达式为

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2．能量信号的频谱密度

（1）定义

设为一个能量信号，则将它的傅里叶变换定义为它的频谱密度，即

的傅里叶反变换就是原信号，即

故能量信号可以分解为无数个频率为，复振幅为的指数信号的线性组合。

（2）能量信号的频谱密度和周期性功率信号的频谱的异同

①是连续谱，是离散谱；

②的单位是，的单位是；

③和的负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称。

借助典型信号的频谱和傅里叶变换的性质，可以有效地求取频谱密度。一些常用的信号傅里叶变换对，如表2-1所示。

表2-1  常用信号的傅里叶变换对

3.d函数

（1）定义

d函数的定义为

（2）频谱密度

d函数的频谱密度为

　 （3）物理意义

d函数的物理意义：一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。

（4）d函数的性质

①d函数可以用抽样函数的极限表示：。

②单位冲激函数d(t)的频谱密度为

③。

④d函数也可以看作是单位阶跃函数的导数。

4．能量信号的能量谱密度——帕塞瓦尔能量守恒定理

设一个能量信号的能量为，则由帕塞瓦尔定理可得此信号的能量为

信号的能量既可以通过时间函数来计算，又可以通过频谱函数来计算，这体现了能量信号的能量在时域与频域中保持守恒。

信号的能量谱密度为

上式表示在频率f处宽度为的频带内的信号能量。

5．功率信号功率谱密度

由于功率信号具有无穷大的能量，所以不能计算功率信号的能量谱密度，但可以求其功率谱密度。

功率信号功率谱密度为

其中，为的截短信号的傅里叶变换。

对于周期性信号，其功率谱密度也可表示为

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三、确知信号的时域性质

确知信号在时域中的性质主要有自相关函数和互相关函数。

1．自相关函数

（1）能量信号的自相关函数

①定义

②性质

a．自相关函数反映了一个信号与延迟t后的同一信号间的相关程度。

b．自相关函数R(t)和时间t无关，只和时间差t有关。

c．自相关函数R(t)和其能量谱密度是一对傅里叶变换。

（2）功率信号的自相关函数

①定义

②性质

a．当t＝0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率

b．功率信号的自相关函数也是偶函数。

③周期性功率信号

a．定义

　 b．性质

R(t)和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系为

2．互相关函数

（1）能量信号的互相关函数

①定义

两个能量信号和的互相关函数定义为

②性质

a．R₁₂(t)和时间t无关，只和时间差t有关；

b．互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关，即。

（2）功率信号的互相关函数

①定义

两个功率信号和的互相关函数定义为

②性质

a．R₁₂(t)和时间t 无关，只和时间差t有关；

b．互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关，即；

c．若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为

d．R₁₂(t)和其互功率谱C₁₂之间也有傅里叶变换关系为