2.2　强化习题详解

1下列函数可以作为马歇尔需求函数吗？为什么？

，

答：这个函数可以作为马歇尔需求函数，理由如下：

马歇尔需求函数需要满足下列性质：

（1）在上具有零次齐次性：

（2）满足瓦尔拉斯法则：

（3）惟一性：给定时显然满足。

综上可知，这些函数可以作为马歇尔需求函数。

2如果某消费者在三维商品世界（）中的需求函数为：

你能写出该消费者的效用函数吗？他对的偏好关系是属于什么类型的？

答：首先把题中的需求函数改写为：

再令，，，则，从而：

，，

显然其效用函数应为Cobb-Douglas型：

他对的偏好关系也相应是属于Cobb-Douglas型的。

3假定消费者对商品1、商品2以及商品3的间接效用函数（indirect utility function）为：

其中为收入，、和分别为商品1、商品2以及商品3的价格。

（1）请导出商品2的普通需求函数（ordinary demand functions）。

（2）请导出商品2的补偿需求函数（compensated demand functions）。

（3）假设商品2的价格上升10％。请问该消费者用于商品2上的支出有何变化？

（4）假设商品2的价格上升10％。请问该消费者的收入必需增加多少才能够弥补价格上升的影响？

解：（1）此消费者的效用最大化问题为：

构造拉格朗日辅助函数：，效用最大化的一阶条件为：

　①

　②

　③

　④

①②③三式相加，得：

解得：。

推导可得：，此即为商品2的普通需求函数。

（2）补偿需求函数又称为希克斯需求函数，它是商品的价格和效用水平函数，一般用来表示。

此消费者的支出最小化问题为：

构造拉格朗日辅助函数，支出最小化的一阶条件为：

　①

　②

　③

　④

 

①②③三式相加，得：

解得：。

推导可得：，此即为商品2的补偿需求函数。

（3）由（1）知是一个常数，因此商品2价格的变化不会影响消费者用于商品2上的支出。

（4）为了使消费者的效用水平仍保留在价格上升前的效用水平，设此时消费者的收入为，则应满足：

解得：。

因此，，此即为收入增加的百分比。

4假设一个消费者的效用函数为，其中和分别表示两种商品。

（1）请问此效用函数是拟凹的吗？

（2）计算均衡需求函数和马歇尔需求函数。

（3）计算间接效用函数和支出函数。

解：（1）该效用函数是拟凹函数。分析如下：

由消费者的效用函数可得商品和的边际效用分别为：

，

因此，边际替代率为：

可以看出，边际替代率随着的增加而减少，因此该函数是拟凹函数。

（2）假设消费者的收入为，则消费者的效用最大化问题为：

其中，和分别为和的价格。构造拉格朗日辅助函数，效用最大化的一阶条件为：

解得：，。

（3）间接效用函数和支出函数

间接效用函数衡量的是在收入和价格一定的情况下，消费者选择最优消费束时的效用：

即间接效用函数为。

支出函数：在一组特定的商品价格条件下，要达到某一既定的效用水平所必需的最小支出，与间接效用函数互为反函数。

间接效用函数：。

支出函数为：。

5定义为变化时对商品的需求量的净替代效应，如在效用函数为，请验证：

。

证明：因为消费者的效用函数为柯布—道格拉斯型的，所以每种商品的马歇尔需求函数为：

　①

　②

①、②两式分别对相关变量求导，得到：

　③

　④

　⑤

 

由斯拉茨基公式得：

　⑥

 

利用③④⑤⑥式就有：

6如果效用函数为。设商品和商品必须搭配买，搭配比例为：，即买一单位的必须搭配单位的。求解关于搭配后的商品组合的马歇尔需求函数。

解：捆绑销售的方案为1单位搭配单位，则组合商品的价格为：

并且组合商品的数量和商品1以及商品2的数量，有如下关系：

　①

　②

 

从而消费者的最大化问题变为：

由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知

　

再由①②两式得到：

，