3.2　强化习题详解

1某商品的市场需求曲线为，供给曲线为。（1）假定政府对消费者征收5元的数量税，均衡的数量和价格（和）将是多少？（2）如果该税加给厂商，而非消费者，均衡的数量和价格（和）将是多少？（3）计算税收的额外净损失。

解：（1）当政府对消费者征收5元的数量税时，消费者购买商品所付的金额中有5元是缴纳税收，因此成交的市场均衡价格会在其原需求曲线上每一数量的均衡价格上下降5元，其需求曲线会向左（下）移，如图3-9所示。

由已知条件得未征税前：

　,　  ①

征税后：

　, ②

当市场达到均衡时，市场供给等于市场需求，即：

　，  ③

将③式代入②式得：，，。

（2）当对厂商征税时，厂商会把这5元的定量税考虑到定价中，因此会在原先每一产量的均衡价格上上涨5元，其供给曲线会向左（上）移，如图3-9所示。

由已知条件得未征税前：

　，  ④

征税后：

　，  ⑤

当市场达到均衡时，市场供给等于市场需求，即：

　， ⑥

图3-9  征税引起的无谓损失

将⑥式代入⑤式得：。

由（1）（2）可知，无论是对消费者征税还是对厂商征税，市场的均衡都会发生同样的改变。

（3）不征税时，由均衡条件得到：

解得，从而。征税的无谓损失是指征税引起的社会总剩余的减少（即消费者剩余的变化，生产者剩余的变化和政府税收三者之和），如图3-9中的所示，它等于。

2Tom consumes A and B. His utility function is . The price of A is ＄1， the price of B is ＄2， and Tom’s income is ＄40 a day. The price of B suddenly falls to ＄1.

（1）Before the price change， how many A and B did Tom consume per day?

（2） If， after the price change， Tom’s income had changed so that he could exactly afford his old consumption bundle， what would his new income have been? With this income and the new prices， how many A and B Tom would consume?

（3）Does the substitution effect of the fall in the price of B make him buy more B or fewer B? How many more or fewer?

（4）After the price change， how many A and B Tom actually buys ?

（5）Does the income effect of the fall in the price of B make him consume more B or fewer B? How many more or how many fewer?

解：（1）对原效用函数作如下单调变换，得到，这是一个柯布—道格拉斯效用函数，由于单调变化不改变消费者的偏好，所以原效用函数表示柯布—道格拉斯偏好，从而：

　

（2）价格变化后，要保持消费者的购买力不变，他的收入需减少为，从而他对两种商品的需求分别为：

　

（3）这里的替代效应是指斯拉茨基替代效应，即在保持消费者的购买力不变的条件下，仅仅由于相对价格的变化而引起的消费的变化量，根据第（1）问和第（2）问，可知，替代效应为，即由于价格的变化，消费者多买了5单位的商品B。

（4）在原来的收入条件和新的价格下，消费者对两种商品的消费分别为：

 

（5）总效用中剔除替代效应，就得到了收入效应，根据前面4问，可知价格变化的收入效应为：

商品B的价格降低使得消费者的实际收入增加，从而使得他对该商品的消费增加了5个单位。

3已知消费者的效用函数为，请写出在（，，，）时变化对于的替代效应与收入效应。如果从4上升为，不变，为了使该消费者生活水平（用表示）保持不变，应该如何对该消费者实行补偿？

解：（1）当时，消费者的效用最大化问题为：

利用拉格朗日乘数法可以求出每种商品的马歇尔需求函数为：

，

因为，，所以的变化对于的收入效应为：

根据斯拉茨基方程可知替代效应为：

当，，，时，，。

（2）保持效用水平不变，应该对消费者实行希克斯补偿，由，得：

从中可以反解出支出函数为：

对支出函数求偏导得到希克斯需求函数：

，

当，，，时，。

当，，，时，，。

把商品1和2的希克斯需求函数代入支出函数中，就有：

从而为了保持消费者的效用不变而对消费者进行的补偿为：

4．考虑商品世界中任意两种商品与，记关于第种商品的需求的收入弹性为。请证明：

　 　 

证明：由斯拉茨基公式（）：

上式两边同时乘以（）就有（）：

因为（），则：

　①

　②

从①②两式中解出和，并利用希克斯需求函数的性质

　就　  ③

利用③式易知：

　④

对于不等式的结论，通过类似于④式的推导也可以得到。

5假设一个人对面包和可乐的偏好可以用下列效用函数来表达，，初始状态下，，

，，现在假设可乐的价格由1/2上升到2（即）， 计算由于变化引起的补偿性变化，等值性变化。

解：方法一：

由于消费者的效用函数为柯布—道格拉斯型的，所以他对每种商品的马歇尔需求函数和间接效用函数为：

  

消费者的希克斯需求函数为：

 

这样，根据题目所给的数字和间接效用函数的表达式就有：

从而：

所以：

方法二：

6．假定需求曲线是一条自左向右下方倾斜的直线。

（1）用计算需求的点价格弹性系数的公式说明需求曲线的斜率与弹性系数的区别。

（2）假定一个坐标图上有两条形状为直线但斜率不同的需求曲线，在其相交点的弹性是否相等？

答：（1）设此直线型（线性）需求函数为，则需求曲线的斜率，需求的点价格弹性系数：

显然需求曲线的斜率与其点价格弹性系数是不同的。前者表示的是的单位变化量引起的的变化量，是两个变化值之比，故它受、计量单位的影响。同时，由于假设需求曲线为直线，故其斜率值是固定不变的，恒为。而后者表示的是的单位变动率引起的的变动率，是两个相对数之比，故其值不受、计量单位的影响，但在不同的价格水平下，其值是不一样的。

图3-10  两条斜率不同的线性需求曲线在相交点的弹性比较

（2）两条斜率不同的线性需求曲线在相交之点各自的弹性是不相等的，斜率绝对值小的那条需求曲线在交点处的弹性大一些，如图3-10所示。由几何法可知，在交点处，的弹性系数，的弹性系数

。又，，则，。显然，，故。这表明在两需求曲线交点处，斜率绝对值较小的需求曲线的弹性系数值大于斜率绝对值较大的需求曲线的弹性系数值。

7（1）指出下列市场动态模型分别属于哪种情况，如果属于价格趋向均衡的情况，试求出均衡价格和均衡产量。

（2）试求各市场动态模型初始价格以后第1、2、3、4期的价格，即、、、。

①；

②；

③。

解：（1）分三种情况讨论：

①的斜率为，的斜率为。因为，即需求曲线的斜率绝对值<供给曲线的斜率绝对值。所以，该市场动态模型属于收敛型，价格和产销量趋向于均衡值。

设为均衡价格，为均衡产销量，则由，得：

②的斜率为,的斜率为。因为，即需求曲线的斜率绝对值＝供给曲线的斜率绝对值。所以，该市场动态模型属于封闭型，即既不收敛也不发散，价格和产销量将环绕其均衡值永无休止地循环反复地上下波动。

③的斜率为的斜率为，因为，即需求曲线的斜率绝对值>供给曲线的斜率绝对值。所以，该市场动态模型属于发散型，成交价格和产销量将环绕其均衡值上下波动，幅度却越来越大。

（2）计算结果如下：

①，

，

，

。

②，

，

，

。

③，

，

，

。

8已知某消费者的效用函数为（），证明：该消费者的收入-消费曲线是一条直线。

证明：（）为Cobb-Douglas型的效用函数，则在下，其对应的马歇尔需求函数为：

、与具有线性关系。

因为收入-消费曲线是给定的前提下由于收入变化，预算线与无差异曲线的共切点的轨迹，即在平面上由于变动产生的曲线，所以：

因为给定，设为常数，则即为收入—消费曲线，这是一条直线。