第四回 贴现利率登场

上回，小布认识到根据贷款期限的长短，贷款利率也会不同。这就是所谓的利率期限结构。也就是说，重置利率的期限对IRS固定利率定价有非常大的影响。只知道利率期限结构就足够定价了吗？似乎没那么简单。让我们切换到通关情景吧。

经过与西门总的讨论，小布理解了利率期限结构的概念。小布知道，贷款期限不同，所呈现的利率也会有所差异。例如，要是找西门总做一笔一年期的贷款，利率在10%左右；要是只做三个月的，利率只需要8%。由于西门总要求每三个月重置一次未来三个月的贷款利率，所以小布只能再次约见琦姐姐，重新拟定新的IRS合约，看看怎么对浮动的“三个月的西门总贷款利率”的不确定性进行有效的对冲。

小布找了一家咖啡店，点了两杯卡布奇诺，看着那层细腻醇厚的奶泡和怡然绽放着的拉花，小布的心情似乎没有以往那样焦虑，在沉思中静候琦姐姐的到来。小布一直思考着一个问题，西门总一开始给我的三个月贷款利率是8%，但是往后的利率还是非常不确定的。如果经济好起来，越来越多人问西门总借钱，那贷款利率肯定会上去的，到时候肯定不止8%了。反之，如果整体的利率水平下降，西门总也会适当有所调整，那贷款利率应该比8%要低。就在这个时候，琦姐姐来了。

小布跟琦姐姐嘘寒问暖一番，马上就直奔主题了。小布向琦姐姐一一道出刚刚一直冥思苦想的问题。琦姐姐浅浅一笑，低头抿了口咖啡，一边沉醉于那香浓的奶泡，一边娓娓道来：“我们拟定IRS价格的时候，总是要对未来的利率走势有一个判断，这就是市场了。市场里不同的参与者对未来的利率走势判断不一，就算是大家都认为未来利率往上是大概率事件，利率上行的幅度也会有差异。由于存在不同的预期，才有了交易，才有了市场。我们还是看看在不同市场预期下，IRS的定价会有什么不一样的吧。”

琦姐姐提出的第一个问题是，如果三个月的利率持续在8%，一直没有改变，那么一年期IRS（浮动利率为“三个月西门总贷款利率”）的固定利率应该在什么水平？小布想起来IRS的结构，觉得这个问题太简单了。IRS的定价就是应该支付固定方与收取固定方都不占优和不吃亏，最起码达成交易的那一刻是这样的，不然没办法达成这笔交易。如果三个月利率维持在8%，要是固定利率在8%以上，那么收取固定方每三个月总会收取轧差后的利息，稳赚不赔；反之，如果固定利率在8%以下，就变了支付固定方稳操胜券。无论是哪一种情况，都会使另外一方蒙受损失，好汉不吃眼前亏，肯定不愿意签下合同的。因此，固定利率整整8%的时候，每三个月由于固定利率等于浮动利率，因此收付息轧差后均为零。这样，双方都是不占优、不吃亏的，所以固定收益应该为8%（见图4-1）。

琦姐姐觉得小布研究透彻，对后续的讨论很有帮助。第一道题，小布答对了。琦姐姐马上开始第二道题。如果三个月的利率在上升轨迹，第一期在8%，预期第二期9%、第三期10%、最后一期11%，那么IRS的固定利率应该是多少？小布想了两秒钟，信心满满回答9.5%。琦姐姐问小布怎么算出来的，小布说：“很简单，8%、9%、10%、11%的平均数就是9.5%。头三个月支付固定方损失了1.5%（8%～9.5%）的年化收益，之后三个月损失了0.5%（9%～9.5%），再往后赚了0.5%（10%～9.5%）和1.5%（11%～9.5%），那不就刚好收益平衡，双方各不占优了嘛。”琦姐姐告诉小布：“你这个方法，只能非常简单粗暴地算个大概的固定利率，并不是最准确的算法。”小布不懂了，明明双方已经各不占优，哪里不对吗？

琦姐姐说：“我说一个例子，你马上能明白。如果你三个月后先给我150元，六个月后给我50元，然后九个月和12个月后，我分别还给你50元和150元，你愿意不？”

“可以呀。”小布脱口而出。可是小布说完马上后悔了，“等等，这样不行。琦姐姐你这是在欺负我，这不等于你借我的钱，但还款时不给我算利息吗？”琦姐姐呵呵一笑，说：“小布想到了问题的关键，就是金融理论上有名的‘今天的一元钱价值高于未来的一元钱’（见图4-2）。”

如果按照小布原来的算法，四个重置利率取平均数，确实能算出来大概利率为多少。但是如果按照琦姐姐的说法，的确固定利率的算法不够准确。对于完美主义的小布来说，没办法不把这个问题完全弄懂。小布请求琦姐姐，教他怎么更准确地算出固定利率。

琦姐姐说：“我们需要知道的，是未来的每一笔现金流（收付息）对应的贴现利率。”小布对“贴现利率”这个词似懂非懂，好像以前在学校里有学过，不过真的忘记了，只能弱弱地问琦姐姐贴现利率的定义。琦姐姐解释：“贴现利率（discount rate）用来运算未来一笔现金流对应的今天价值，不要急，慢慢来，更详尽的解释在后面。”

首先，我们先看看西门总贷款的利率期限结构。

3个月 8%

6个月 8.5%

9个月 9%

1年 10%

我们要找的贴现利率，就是所谓的零息利率（zero rate）。如果西门总的贷款结构，每个期限的都是到期支付本息，中间没有利息的话，那么他的贷款利率就是零息利率，也就是我们的贴现利率了。现在我们假设IRS的固定利率为X%。站在支付固定方的角度，具体如表4-1所示。

（注意：为了简化，每一期现金流算法里都除以4。最准确的算法里，应该根据计息基准来进行运算，比如计息基准为实际/365，那就应该以“×实际天数/365”来取代“除以4”）

利用贴现利率进行现值（present value）计算，得出来的结果如表4-2所示。

现在，可以把这四个现值都加起来。如果交易双方各不占优、各不吃亏，那么四个现值的总和便是零。

小布问琦姐姐：“那么复杂的公式，虽然我的数学不是体育老师教的，但是我还真的一时三刻算不出来。有什么好的办法吗？再说，现在的浮动利率只有8%是相对肯定的，后面的9%、10%、11%都是拍脑袋想出来的，如果要改变这几个浮动利率的预测，难道要用那么复杂的公式再算一遍？”

琦姐姐说：“亏你说自己从小打游戏，只要有台电脑在你面前，直接用Excel来算就可以啦。”小布疑惑了，这跟Excel有关系吗？琦姐姐看到困惑的小布，就把笔记本拿出来，打开了Excel，开始一步一步地跟小布讲解（见表4-3）。

琦姐姐基本上是根据之前的表格把公式都放到Excel里面，固定利率暂时先用9.5%来算（单元格B2）。现金流现值的总和在单元格C16，现在是-1500元左右。

小布问：“琦姐姐你不会要我把固定利率一个一个地试，试到现金流现值总和等于零吧？这要试到猴年马月呢？”琦姐姐说：“看来你的Excel操作还不熟，我介绍一个功能给你吧，就是‘单变量求解’。你只需要这样做（见图4-3）。”

“你看，马上现金流现值总和等于零了（见表4-4）。”

“固定利率为9.4688%。如果要改变重置利率的预判，直接在C6:C9单元格上改动，其他变数也可以改变，非常方便。把要改动的都输入进表格，然后用一次‘单变量求解’功能就可以了。是不是简单多了？”

小布恍然大悟，原来还可以这样操作。琦姐姐实在是知识渊博，小布真是自愧不如。就在这时琦姐姐说：“小布，你记得我们计算的时候中间有个假设吗？就是西门总的贷款利率，无论什么期限都是到期支付本息而中间没有任何的利息。”小布点点头。

琦姐姐接着说：“那如果西门总要求每三个月付息呢？那就不是到期支付所有的利息和本金了。”小布想了一下，说：“确实是，如果真的是这样，那么我们就不能用他的贷款利率结构来做我们的贴现曲线或零息利率了。”

那到底该怎么办呢？小布又一次陷入了深思，低头才发现那杯卡布奇诺的拉花和奶泡早已溶解于苦涩的咖啡之中。小布深知又要整装待发，通往下一关挑战了。Ready Go！

利率互换交易是双方约定的合同，理论上交易双方各自抱着“不吃亏”的原则进行约定。双方各自“不吃亏”，在理性的行为基础上，双方也各自“不占优”。因此，利率互换交易中，未来现金流的现价，总和为零。公式如公式4-1所示。

有兴趣的同学，可以自己熟悉一下Excel“单变量求解”功能，这个功能对很多利率互换的定价有非常重要的作用。