第十五章　第一型曲线积分与第一型曲面积分

§1　第一型曲线积分

我们已经知道怎样计算连续可微曲线的弧长（第六章§3）.在本节中，将对曲线孤长的概念作更细致的说明，然后讨论第一型曲线积分.

l. a可求长曲线

考查R3中的一条连续的参数曲线

如果曲线（1.1）的起点与终点重合，即

那么我们就说这是一条闭曲线，如果曲线（1.1）没有自交点（即除非是，只要，就有，那么我们就说这曲线是简单曲线.参数方程（1.1）用分量表示就是

设和是曲线（1. 1）上的两点，则联结这两点的直线段的长度可以表示为

也就是

假设γ是一条简单曲线，它的参数方程是（1.1）.考查参数区间[α，β]的任意一个分割

对于k=1，……，n，将曲线γ上参数为tk-1与tk的点用直线段联结起来，我们得到内接于γ的一条折线.这折线的长度可以表示为

定义1　如果

那么我们就说γ是一条可求长曲线，并约定把

叫做曲线γ的孤长.

定理1　设γ是用参数方程（1.1）表示的一条简单连续曲线，则γ可求长的充分必要条件是存在有穷极限：

其中

证明　充分性设存在有穷极限

则对ε=1，可选择δ＞0，使得

现在设π是区间的任意一个分割.我们可以用增加分点的办法将进一步细分为π'，使得

于是就有

这证明了

必要性如果

那么对任何ε＞0，存在[α，β]的分割

使得

由于函数r（t）=（x（t），y（t），z（t））在闭区间[α，β]一致连续，存在δ，0＜δ＜|π0|，使得只要

就有

（这里m是分割π0在（α，β）内的分界点的数目）.现在设π是[α，β]任意一个分割，满足这样的条件

将π0和π的分点合在一起，得到[α，β]的一个分割π1，显然有

下面来证明

为书写简单，我们引入记号

和式

可以拆成两部分：

其中第一部分所涉及的参数区间[tj-1，tj]内部不含有π0的分点；第二部分所涉及的参数区间内部含有π0的分点（后一类区间总数不超过m个）.和数λ（γ，π1）与和数λ（γ，π）相比较，差别只是第二部分和数中的每一项ψ（tk-1，tk）被改变为

因为

所以

由此得到

我们证明了

推论设γ：r=r（t），t∈[α，β]，是一条连续可微（或分段连续可微）的参数曲线，则γ是可求长的，并且

l. b第一型曲线积分

设有一段质地不均匀的直金属线L放置在0 X轴上，所占的位置是闭区间[a, b].设这金属线在点x处的线密度等于ρ（x）^[1].我们来求金属线L的质量m.这是一道典型的定积分应用题.利用微元法，很容易写出计算公式

再来考虑一个类似的问题：如果L不是直金属线，而是一段弯曲的金属线，那么L的质量又该怎样计算？为了解答这问题，我们用一串分点

把L分成n小段（这里A和B是L的两端点）.在Pj-1到Pj这一小段曲线弧上任意选取一点

并把这小段曲线弧的长度记为

于是，从Pj-1到Pj这一小段金属线的质量可以近似地表示为

整段金属线L的总质量可以近似地表示为

如果所分弧段的最大长度趋于0：

那么（1.2）式的极限就应该是所求的质量：

这里的“分割——近似——求和——求极限”的手续，与定积分的情形十分类似，但却是沿着一条曲线实施的.由此可以引出第一型曲线积分的一般定义.

定义　2设L是R3中的一条可求长曲线，函数f（x, y，在L上有定义.我们用依次排列的分点

把L分成n段（A和B是L的端点，对于闭曲线的情形认为A=B），约定把从Pj-1到Pj这一小段的曲线弧长记为Δsj，并记

在弧段Pj-1Pj上任意选取点Qj（j=1，2，……，n），然后作和数

如果当d→0时和数（1.3）收敛于有穷极限，那么我们就把这极限叫做函数f沿曲线L的第一型曲线积分，记为

注记　我们把这种对弧长的积分叫做“第一型”曲线积分，是为了与以后将要学习的另一种曲线积分相区别.

读者容易看出：与定积分的情形类似，作为和数的极限的第一型曲线积分，具有线性、可加性等性质.

如果以弧长s作为参数把曲线L的方程写成

那么根据定义立即就可以把第一型曲线积分表示为定积分

非弧长参数的连续可微曲线（或者分段连续可微曲线），可以通过变元替换化成以弧长为参数的情形.我们有以下的计算公式：

定理2　设L：r=r（t），t∈[α，β]是一条连续可微的参数曲线，满足条件

并设函数f在L上连续.则f沿着L的第一型曲线积分存在，并且这积分可按下式计算：

证明　在所给的条件下，曲线L是可求长的，其弧长表示为

并且

根据反函数定理，参数t是弧长s的连续可微函数：

于是，我们可以用弧长s作为参数，将曲线L的方程写成

函数f沿L的第一型曲线积分表示为

在上式中作变元替换

就得到定理中的计算公式.□