附录

A.帕累托最优配置解的求解过程（单一公共品）

此时拉格朗日函数可写为

求一阶条件如下：

其中λ₁= 1，上述一阶条件可简化为

B.政府目标偏向GDP增长时的均衡（单一公共品）

此时拉格朗日函数可以写为

分别对x _i，g _i，k _i和t _i求偏导，可以得到：

（A1）式可以写为

从而得到

C.帕累托最优配置解的求解过程（两种公共品）

拉格朗日函数可写为

求一阶条件如下：

其中λ₁= 1，从而上述一阶条件可写为

D.政府目标是最大化居民效用时的均衡配置（两种公共品）

此时拉格朗日函数可以写为

分别对x _i，g _i，k _i，t _i和b _i求偏导，可以得到

此时，（A2）式可以写为- u ix f ikk k i+ u i_g f ikk k i（1- t i）+ u i_g t i f ikk k i+ u i_g t i f ik=

0，即

（A3）式可以进一步写为

进一步化简得到

即

E.政府目标偏向GDP的增长（两种公共品）

则拉格朗日函数是

分别对x _i，g _i，k _i，t _i和b _i求偏导，可以得到

（A4）式可以写为

稍加变换即可得到

（A5）式可以写为

稍加变换即可得到

F.两个地方政府策略互动的非对称均衡解

假定两个地方是异质的，第一个地方的生产函数仍然是f（k ₁），第二个地方的生产率是第一个地方的A倍，即生产函数是Af（k ₂）。这时第一个地方政府的目标是

可以求得一阶条件是

稍加变换即可得到

由均衡时资本的回报率在两个地区相等，可以得到f _1k（1- t ₁）= A f _2k（1-t ₂），又由

可以得到

（A7）式两边同时对t ₁求导数，得到

将（A8）式代入（A6）式，可得到

因此当满足此时地方政府的公共品提供会不足。当A= 1时，就退化成对称均衡。

G.引入政府消费支出（两种公共品）

此时拉格朗日函数可写为

分别对x _i，g _i，k _i，t _i，b _i和c _i求偏导，可以得到：

由（A9）式、（A10）式和（A12）式可得到

稍加变换即可得到

由（A11）式和（A12）式可得到

将（A13）式代入（A14）式得到