- 印度数学和孙子算经:让你算得快算得准的古老法宝
- 梦远编著
- 1866字
- 2021-03-28 03:46:55
第三式~第五式 ×:三类特殊的乘法运算
乘法运算是印度数学大显神威的领域。接下来我们将看到另外三种印度数学简算法,它们全部得益于补数思想的应用。
类型一:两个乘数中间存在整十、整百、整千数
在乘法计算题中,如果两个乘数的中间数是整十、整百或者整千数,这道题便可以减算了。举个例子:乘法算题17×23,因为17和23的中间数是整十数20,我们能够利用补数思想瞬间求计算结果。至于如何减算,等你完成了下面的“学前自测”题再揭晓。
·|学前自测|·
![figure_0024_0017](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0024_0017.jpg?sign=1734449783-qETo1pUEumDQK3n8x0bwfkTs5iviuOgT-0-ccb47439d80e3b4c5dbfa47bf86ca5d4)
答案:
①391 ②896 ③1584 ④3575 ⑤6399 ⑥9984 ⑦12091 ⑧22496 ⑨999999 ⑩3999775
·印度数学第三式·
被乘数和乘数中间存在整十、整百或整千数的乘法运算:
步骤①:找到被乘数和乘数的中间数——也就是那个整十、整百或整千数,并将这个中间数乘二次方;
步骤②:求被乘数(或乘数)与中间数的差,并将其乘二次方;
步骤③:用步骤①的得数减去步骤②的得数。
·|例题解析|·
![figure_0025_0018](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0025_0018.jpg?sign=1734449783-bKZToUiyevidUFuQ4EHkdVz5kvqF3GgK-0-1fd3916c839701593e37e16c5e9d0ec8)
·|原理阐释|·
想一想,这种简算法合理吗?
如果你了解平方差公式(a+b)×(a-b)=a2-b2,你就会发现印度数学第三式其实就是对平方差公式的完美应用。
![figure_0026_0019](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0026_0019.jpg?sign=1734449783-vxioMd0VwGfKZNbhePSsXpNN2PWkpYVh-0-977f1d61ae222eb863f6d050960a1180)
如果你不熟悉平方差公式,那就画个长方形,用求面积的方法检验一下吧!
![figure_0026_0020](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0026_0020.jpg?sign=1734449783-OICaUq2NsGKtmadmrQ0k6C5S1EvWP3m4-0-dbae277b7e14adc32763af45f6f6768b)
长23、宽17的长方形,它的面积是:23×17=391。
将阴影部分移接到箭头所示的位置后,新图形是一个边长为20的大正方形残缺了一个边长为3的小正方形。求这个新图形的面积只需用大正方形的面积减去小正方形的面积:
![figure_0026_0021](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0026_0021.jpg?sign=1734449783-kUox0zG7Yp1LyxMAktIVzIeQEHC2IMZI-0-556f3484d62196cb7507b2f1cd3b6fc8)
![figure_0027_0022](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0027_0022.jpg?sign=1734449783-KlJH0tzUpBSkgF40is09vzBZFarUz9bV-0-874e7de573135d4687737207bd0f9820)
·|练习|·
![figure_0027_0023](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0027_0023.jpg?sign=1734449783-Wmq9isJVOtjYrhs3K9I6r7f4DRm2MdGA-0-b49cd929a95d618b4cb60f9cfafec16e)
1 被乘数96和乘数104的中间数是100,将100乘二次方。
1002=100×100=10000
2 被乘数96(或乘数104)与中间数100的差是4,将4乘二次方。
42=4×4=16
3 用10000减去16。
10000-16=9984
最终答案:9984
![figure_0027_0024](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0027_0024.jpg?sign=1734449783-bsMc0WsuBatmTBWtuyMwMIQCVbEHpZgZ-0-d4013d66920bc2eaad847ca6b791b02a)
![figure_0028_0025](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0028_0025.jpg?sign=1734449783-TVGisAG5ih8ypPgvZYQmbZR1MCe6mJjC-0-d477d41cbe7b28f671e6ff6815cfbb14)
1 被乘数148和乘数152的中间数是150,将150乘二次方。
1502=150×150=22500
2 被乘数148(或乘数152)与中间数150的差是2,将2乘二次方。
22=2×2=4
3 用22500减去4。
22500-4=22496
最终答案:22496
·|利用印度数学第三式,完成下面的计算|·
计算时盖住右边的答案,完成全部题目后再核对答案。提示:
![figure_0028_0026](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0028_0026.jpg?sign=1734449783-rmQhSrKEWiMoy1L90zygCiGyQP1G8Qnv-0-c780cfc45a9d86bc4bae55d9271e6593)
![figure_0029_0027](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0029_0027.jpg?sign=1734449783-91aWcl0L4jFEvkGizJ9z18vWbCfDgAaz-0-e292c5e56bc4b657d0ab48503507f140)
类型二:至少有一个乘数接近100
进行两位数乘法运算时,如果至少有一个乘数接近100,运算便能得到化简。那么,什么数是接近100的数呢?这里,我们默认大于90的两位数是接近100的。先用你自己的方法计算几道这样的题目。
·|学前自测|·
![figure_0030_0028](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0030_0028.jpg?sign=1734449783-HUgx2rLsaYEkMZExKmoglYaPpKj3rNOB-0-5f46fa98acfab3d58c2fec61cc369176)
答案:
①8281 ②7544 ③6789 ④6016 ⑤5225 ⑥4416 ⑦3589 ⑧2744 ⑨1881
·印度数学第四式·
至少有一个乘数接近100的两位数乘法:
步骤①:以100为基数,分别找到被乘数和乘数的补数;
步骤②:用被乘数减去乘数的补数(或者用乘数减去被乘数的补数),把差写下来;
步骤③:两个补数相乘;
步骤④:将步骤③的得数直接写在步骤②的得数后面。
提示:步骤②两种计算方法结果相同,所以只用其中之一计算即可。为什么“被乘数-乘数的补数=乘数-被乘数的补数”呢?我们来证明一下,以a-b这个式子为例:
a的补数是:100-a
b的补数是:100-b
被乘数-乘数的补数=a-(100-b)=a-100+b
乘数-被乘数的补数=b-(100-a)=b-100+a
a-100+b=b-100+a
所以,被减数-减数的补数=减数-被减数的补数
![figure_0031_0029](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0031_0029.jpg?sign=1734449783-KPyXFgCqhW0AqjgaM8Nl20wLduI1gNk2-0-16a44abcb0cd7e7fe8aececa68f54987)
1 以100为基数,被乘数和乘数同为91,它们的补数相同,都是9。
91→9
91→9
2 用被乘数91减去乘数91的补数9。
91-9=-82
3 两个补数9相乘。
9×9=81
4 将81直接写在82后面。
最终答案:8281
·|原理阐释|·
用计算图形面积的方式解析这种简算法:
![figure_0032_0030](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0032_0030.jpg?sign=1734449783-tVojdNGQAXKql1HgCdfdButXYWBvhxTu-0-d962fd791016a5e527c3497149e7c49c)
边长为91的正方形,它的面积是91×91=8281。
将阴影部分移接到箭头所示位置后,原正方形变成由两部分组成的新图形,这两部分分别是:长100(91+9=100)、宽82(91-9=82)的长方形和边长为9的小正方形。求新图形的面积只需将这两部分的面积相加。
提示:步骤①去哪呢?移接图形的过程恰与步骤①对应。
![figure_0032_0031](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0032_0031.jpg?sign=1734449783-Rm41jlkLSmRycoFOhw8MphnGYmsf6Dmr-0-50efa4690d87e05bb5725adb16d4a4d1)
·|练习|·
![figure_0033_0032](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0033_0032.jpg?sign=1734449783-mNN6n3g1QKri5GhlGHbMpITph3CidnTE-0-780693e96dd25f5ac3cc9dba9f25247f)
![figure_0033_0033](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0033_0033.jpg?sign=1734449783-50HOYEiNR2Gf3qmDMWwYYOGZE5iqJ06o-0-5bf466dc3901dc5726c413655a044cdc)
·|利用印度数学第四式,完成下面的计算|·
计算时盖住右边的答案,完成全部题目后再核对答案。提示:
![figure_0034_0034](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0034_0034.jpg?sign=1734449783-dXOHjKkHaE1laU2kePvwqtrhiqRicRPg-0-ef2855de9034f4145bf3f8c794af81b0)
![figure_0035_0035](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0035_0035.jpg?sign=1734449783-l6uDd69nJgw8RzIkMu8oqyu1WiRuyWKJ-0-3048ddb6d9f40afb52b0273cf94b850e)
类型三:当5遇上偶数
我们知道5×2=10、25×4=100、125×8=1000,利用5和偶数相乘得整十、整百、整千数的规律,我们可以化简大量乘法题目。先以你常用的方法完成下列计算,之后你将领略“5”邂逅偶数的神奇。
·|学前自测|·
![figure_0035_0036](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0035_0036.jpg?sign=1734449783-J5JiCaGXSZN5mowDNbPAXQhInfy1ESSL-0-284a9fea8c5ac38707d274b0fa3cb835)
答案:
①330 ②540 ③700 ④1350 ⑤420 ⑥490 ⑦1350 ⑧2400 ⑨6500 ⑩41000
·印度数学第五式·
个位是5的数和偶数相乘:
步骤①:偶数除以2或者4或者8;
步骤②:个位是5的数相应地乘以2或者4或者8;
步骤③:将前两步的结果相乘。
·|例题解析|·
![figure_0036_0037](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0036_0037.jpg?sign=1734449783-n7e182pfkUxIGRHo9sgpq4E8FnwuPJxA-0-42203cc4142396b6c48c5666099454f0)
提示:在这一式中,补数并没有在解题过程中直接出现。个位是5的数通过乘以2或者4和8,使自己成为整十、整百或者整千数,这种“化零为整”的转变恰恰是补数思想的核心。
·|练习|·
![figure_0037_0038](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0037_0038.jpg?sign=1734449783-JaSxYPvkWZJfQ0hHNuSu5W68KH4TAFSQ-0-9a94d0943133c0f728f05f048ab852d7)
提示:为什么25×4而不乘以2呢?
25×2=50,而25×4=100,乘以4可以凑出更“整”的数。所以,要根据每道题的数据特征决定究竟乘以2、乘以4还是乘以8。
![figure_0037_0039](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0037_0039.jpg?sign=1734449783-d8HROvffAunEG5qE494yGq1PR9aKeqKw-0-4912bc12610a889afe0fc44e7284ce9a)
![figure_0038_0040](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0038_0040.jpg?sign=1734449783-qTtQ2ddzCfG3OtkQLc8uIooIhNlOYPJK-0-e125ea8e431bd1edf403f51153604a89)
提示:对35来说,无论×2还是×4,对原式的简化程度相差不大,因此这两种方法可以任选其一。
·|利用印度数学第五式,完成下面的计算|·
计算时盖住右边的答案,完成全部题目后再核对答案。提示:
![figure_0038_0041](https://epubservercos.yuewen.com/B7FC65/14624327705753706/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0038_0041.jpg?sign=1734449783-kLbPsxKMblGfvKthgRVYLeTDhjjSXP3K-0-83f32d7f1a3eda1fd3740e58d6dab712)