第一节　雉兔同笼

※算题1　雉兔同笼

【原题】

今有雉^①､兔同笼，上有三十五头，下九十四足。问雉､兔各几何？(选自《孙子算经》31卷下)

【注释】

①雉：鸡。

【译文】

【解答】

《孙子算经》针对这一题做出了非常巧妙的解答：“术曰：上置头，下置足。半其足，以头除足，以足除头，即得。”把这一解法列成算式即是：兔子的只数=94÷2-35=12只，再用35-12=23只，即求出了鸡的数量。

这一解法的巧妙之处即在于它假设了一种特殊的情况——鸡､兔的脚数都减少一半，也就是想象每只鸡都“金鸡独立”，而每只兔子都抬起2只前爪。这样，地面上出现脚总数的一半，也就是94÷2=47。如果我们把47看作两种动物的头数，那么鸡的头数算了一次，而兔子的头数却算了两次，因为当鸡抬起一只脚，它的脚数与头数相等，而当兔子抬起前主爪之后，脚数却为头数的两倍，也就是说，每有一只兔子，(一半的)脚数便要比头数多1。因此从47中减去总头数35，得到的是兔子头数。再用总头数减去刚刚算出的兔子的数量，便得出了鸡的数量。

假设一种特殊情景，只通过一次除法和两步减法便得出所求，方法的确非常明了､简单。只不过这种解法推广的可能性比较小，因为“抬腿法”更适合鸡､兔这种脚数与头数呈现特定比例关系的动物，对于一般性的事物，我们可以用一种更普遍的解法。

还是雉兔同笼这道题，如果假设35只都是兔子，那么就有4×35只脚，比94只脚多：

35×4-94=46只

因为每只鸡比兔子少4-2只脚，所以共有鸡：

(35×4-94)÷(4-2)=23只

说明我们设想的35只“兔子”中有23只不是兔子，而是鸡。因此兔子的真正数目是35-23=12只。

当然，我们也可以设想35只都是“鸡”，那么共有脚2×35=70(只)，比94只脚少：

94-70=24只

每只鸡比每只兔子少4-2只脚，所以共有兔子：

(94-2×35)÷(4-2)=12只

说明设想中的“鸡”中有12只不是鸡，而是兔子。鸡的真实数目是35-12=23只。

因此，这个笼子中共有23只鸡，12只兔。

※算题1　再操练

1.李老师买笔

李老师到文具店买圆珠笔，红笔每支1.9元，蓝笔每支1.1元，两种圆珠笔共买了16支，花了28元。问红､蓝笔各买了几支？

以“角”作单位：

红笔数量：(280-11×16)÷(19-11)=13支

蓝笔数量：16-13=3支

因此，李老师买了13支红笔，3支蓝笔。

2.蜘蛛､蜻蜓和蝉

蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各有几只？

因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种，利用公式就可知8条腿的蜘蛛有：(118-6×18)÷(8-6)=5只，则6条腿的小虫有：

18-5=13只

也就是蜻蜓和蝉共有13只。因为它们共有20对翅膀，再利用一次公式。

蝉的数量：(13×2-20)÷(2-1)=6只

蜻蜓的数量：13-6=7只

因此，有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。

※算题1　拓展

1.雉兔同笼2

若干只鸡､兔在同一个笼中，它们的头数相等，脚一共有90只。鸡､兔各有几只？

因为鸡､兔头数相等，因此可以把1只鸡和1只兔子并为一组，每组有2+4=6只脚，90÷6=15，可知一共

有15组鸡兔，也就是说笼子里有15只鸡，15只兔。

2.两种邮票

小红买了一些4角和8角的邮票，共花了68元。已知8角的邮票比4角的邮票多40张，那么两种邮票各有多少张？

如果拿出40张8角的邮票，剩下的邮票中8角与4角的张数一样多，

(680-8×40)÷(8+4)=30张

剩下的邮票中8角和4角的各有30张，8角的邮票一共有：

40+30=70张

因此，8角的邮票有70张，4角的邮票有30张。