A、E、I、O之间的真假关系

要判断A、E、I、O之间的真假关系，则需先判断A、E、I、O各判断自身的真假；要判断A、E、I、O各判断自身的真假，则需要判断各判断中主、谓项的关系。判断各直言判断中主、谓项的关系，就需要考察主、谓项概念外延的关系。根据在“概念间的关系”中的分析，两个概念间具有同一、真包含、真包含于、交叉和全异五种关系。

A、E、I、O各判断的真假关系

1.A判断

我们看下面两个A判断：

（1）所有直言判断（S）都是性质判断（P）。

（2）所有的花（S）都是有颜色的（P）。

判断（1）中，主项“直言判断”（S）和谓项“性质判断”（P）是全同关系，即S与P完全重合，这时该判断则为真；判断（2）中，主项“花”（S）与谓项“有颜色的”（P）是真包含于关系，即S真包含于P，这时该判断也为真。

再看下面三个A判断：

（1）所有动物（S）都是哺乳动物（P）。

（2）所有英语系学生（S）都是英语高手（P）。

（3）所有沙漠（S）都是绿洲（P）。

判断（1）中，主项“动物”（S）与谓项“哺乳动物”（P）是真包含关系，即S真包含P；判断（2）中，主项“英语系学生”（S）和谓项“英语高手”（P）是交叉关系，即S与P交叉；判断（3）中，主项“沙漠”（S）与谓项“绿洲”（P）是全异关系，即S与P全异。显然，在这三种关系中，这些判断都为假。

由此可知，当S与P是同一关系或真包含于关系时，A判断为真判断；当S与P是真包含、交叉或全异关系时，A判断为假判断。

2.E判断

我们看下面四个E判断：

（1）所有直言判断（S）都不是性质判断（P）。

（2）所有动物（S）都不是哺乳动物（P）。

（3）所有的花（S）都不是有颜色的（P）。

（4）所有英语系学生（S）都不是英语高手（P）。

根据上面的判断，我们可知这四个E判断中主、谓项即S与P之间的关系依次为同一、真包含、真包含于和交叉关系。显然，当S与P是这四种关系时，这些判断都是假判断。

再看下面两个E判断：

（1）所有沙漠（S）都不是绿洲（P）。

（2）所有少年（S）都不是老年（P）。

在这两个判断中，主、谓项即S与P是全异关系，这时这两个判断为真判断。

由此可知，当S与P是全异关系是，E判断为真判断；当S与P是同一、真包含、真包含于或交叉关系时，E判断为假判断。

3.I判断

我们看下面四个I判断：

（1）有的直言判断（S）是性质判断（P）。

（2）有的动物（S）是哺乳动物（P）。

（3）有的花（S）是有颜色的（P）。

（4）有的英语系学生（S）是英语高手（P）。

我们已经知道这四个判断中主、谓项即S与P的关系依次是同一、真包含、真包含于和交叉关系。显然，当S与P是这四种关系时，这些判断都是真判断。

再看下面两个I判断：

（1）有的沙漠（S）是绿洲（P）。

（2）有的少年（S）是老年（P）。

这两个判断中，主、谓项都是全异关系，显然，这时这两个判断都是假判断。

由此可知，当S与P是同一、真包含、真包含于或交叉关系时，I判断为真判断；当S与P是全异关系是，I判断为假判断。

4.O判断

我们看下面两个O判断：

（1）有的直言判断（S）不是性质判断（P）。

（2）有的花（S）不是有颜色的（P）。

这两个判断中，主、谓项即S与P的关系分别是同一关系和真包含于关系，这时这两个判断为假判断。

再看下面三个O判断：

（1）有的动物（S）不是哺乳动物（P）。

（2）有的英语系学生（S）不是英语高手（P）。

（3）有的少年（S）不是老年（P）。

这三个判断中，主、谓项即S与P的关系依次是真包含、交叉和全异关系，这时这三个判断都为真判断。

由此可知，当S与P是真包含、交叉或全异关系时，O判断为真判断；当S与P是同一关系或真包含于关系时，O判断为假判断。

根据上面的结论，我们可以将各直言判断的真假关系总结如下：

A、E、I、O各判断之间的对当关系

我们先看下面四个直言判断：

（1）所有的监狱都是国家机器。

（2）所有的监狱都不是国家机器。

（3）有的监狱是国家机器。

（4）有的监狱不是有阶级性的。

这四个直言判断中，（1）、（2）、（3）三个判断的主项都是“监狱”，谓项都是“国家机器”；判断（4）的主项也是“监狱”，但谓项则是“有阶级性的”。所以，（1）、（2）、（3）三个判断的主、谓项都是相同的，于是我们可以说这三个判断是同一素材；判断（4）与其他三个判断主项相同，谓项不同，于是我们就说它与其他三个判断不是同一素材。

所谓同一素材的直言判断就是指各判断的逻辑变项（即主项和谓项）必须相同、逻辑常项（即联项和量项）可以不同的情况。在我们分析A、E、I、O四种判断之间的对当关系时，需要遵循的前提条件就是它们需有同一素材，即相同的主项和谓项。

1.反对关系

对前面的表格中A判断和E判断的真假关系进行比较我们可以得出下面两个结论：

（1）当A判断为真时，E判断必为假；当A判断为假时，E判断则真假不定。

（2）当E判断为真时，A判断必为假；当E判断为假时，A判断则真假不定。

由此可知，对于A判断与E判断来说，其中一个为真时，另一个必为假；其中一个为假时，另一个却真假不定。也就是说它们可以同假，但不能同真。A判断与E判断之间的这种关系在逻辑学中称为反对关系。比如：

（1）所有的手机都是智能的。

（2）所有的手机都不是智能的。

显然，（1）为A判断，（2）为E判断，二者可以同假，但不可能同真，是反对关系。

2.下反对关系

对前面的表格中I判断和O判断的真假关系进行比较我们可以得出下面两个结论：

（1）当I判断为真时，O判断真假不定；当I判断为假时，则O判断必为真。

（2）当O判断为真时，I判断真假不定；当O判断为假时，则I判断必为真。

由此可知，对于I判断与O判断来说，其中一个为真时，另一个真假不定；其中一个为假时，另一个则必为真。也就是说它们可以同真，但不能同假。I判断与O判断之间的这种关系在逻辑学中称为下反对关系。比如：

（1）有的手机是智能的。

（2）有的手机不是智能的。

显然，（1）为I判断，（2）为O判断，二者可以同真，但不可能同假，是下反对关系。

3.矛盾关系

A判断与O判断

对前面的表格中A判断和O判断的真假关系进行比较我们可以得出下面两个结论：

（1）当A判断为真时，O判断必为假；当A判断为假时，O判断则必为真。

（2）当O判断为真时，A判断必为假；当O判断为假时，O判断则必为真。

由此可知，对于A判断与O判断来说，其中一个为真时，另一个则必为假；其中一个为假时，另一个则必为真。也就是说二者既不能同真，也不能同假。A判断与O判断之间的这种关系在逻辑学上称为矛盾关系。看下面这道题：

若“无商不奸”为假，那么下面哪一项为真？

A.所有的商人都是奸的B.所有奸的都是商人

C.有的商人不是奸的D.所有商人都不是奸的

这道题中，“无商不奸”的意思是“所有的商人都是奸的”，是A判断；A项与命题重复，故首先排除；B项也是A判断，但与命题主、谓项颠倒了，不是同一素材，也排除；D项是E判断，与命题是反对关系，即A判断假时E判断真假不定，也可排除；C项是O判断，与命题是矛盾关系，即A判断假时O判断必为真，所以选C项。

1.反对关系

2.下反对关系

E判断与I判断

对前面的表格中E判断和I判断的真假关系进行比较我们可以得出下面两个结论：

（1）当E判断为真时，I判断必为假；当E判断为假时，I判断则必为真。

（2）当I判断为真时，E判断必为假；当I判断为假时，E判断则必为真。

由此可知，E判断与I判断也是既不能同真，也不能同假，也属于矛盾关系。比如：

（1）所有的手机都不是智能的。

（2）有的手机是智能的。

显然，（1）为E判断，（2）为I判断。当（1）为真时，（2）必为假；当（1）为假时，（2）必为真。反之亦然。

4.从属关系

A判断与I判断

对前面的表格中A判断和I判断的真假关系进行比较我们可以得出下面两个结论：

（1）当A判断为真时，I判断必为真；当A判断为假时，I判断则真假不定。

（2）当I判断为真时，A判断真假不定；当I判断为假时，A判断则必为假。

由此可知，A判断与I判断不一定总是同真，也不一定总是同假。A判断与I判断的这种关系在逻辑学上称为从属关系或等差关系。比如：

（1）所有的手机都是智能的。

（2）有的手机是智能的。

显然，（1）是A判断，（2）是I判断。若（1）为真，即所有的手机都是智能的，（2）必为真，因为“有的手机”包含在“所有的手机”中；若（1）为假，则（2）的真假难定。反之，若（2）为真，“有的手机”是智能的并不代表“所有的手机”都是智能的，但也不排除“所有的手机”都是智能的，这时（1）真假难定；若（2）为假，就表示“有的手机”不是智能的，这样一来，（1）就必为假了。因此，这两个判断是从属关系或等差关系。

E判断与O判断

对前面的表格中E判断和O判断的真假关系进行比较我们可以得出下面两个结论：

（1）当E判断为真时，O判断必为真；当E判断为假时，O判断则真假不定。

（2）当O判断为真时，E判断真假不定；当O判断为假时，E判断则必为假。

由此可知，E判断与O判断之间也是从属关系或等差关系。比如：

（1）所有的手机都不是智能的。

（2）有的手机不是智能的。

显然，（1）是E判断，（2）是O判断。在对它们进行如上面类似的分析后，亦可得出E判断与O判断是从属关系或等差关系。

5.单称肯定判断和单称否定判断的关系

我们前面讲过，传统逻辑学一般把单称肯定判断归入全称肯定判断（即A判断），把单称否定判断归入全称否定判断（即E判断）。A判断与E判断是反对关系，那么，单称肯定判断与单称否定判断之间是不是也是反对关系呢？看下面这则故事：

一天，甲和乙谈起鲁迅时，甲突然问道：“对了，鲁迅姓什么呢？”乙说：“当然姓周了。”甲哈哈大笑道：“错！鲁迅当然姓鲁了，怎么会姓周呢？”

这则故事中，包含着一对单称肯定判断和单称否定判断，即

（1）鲁迅是姓周的。（单称肯定判断）

（2）鲁迅不是姓周的。（单称否定判断）

显然，若判断（1）为真，即“鲁迅姓周”，则判断（2）必为假；若判断（1）为假，即“鲁迅不姓周”，则判断（2）必为真。反之亦然。

由此可见，单称肯定判断与单称否定判断之间是矛盾关系，这与全称肯定判断和全称否定判断之间的关系是不同的。这一点一定要分清楚。

通过上面对A、E、I、O四种直言判断之间关系的分析，我们知道A与E之间是反对关系；I与O之间是下反对关系；A与O之间、E与I之间是矛盾关系；A与I之间、E与O之间是从属关系或等差关系。我们把A、E、I、O这四种直言判断之间关系叫作对当关系。它可以用下面的逻辑方阵来表示：

为了记忆方便，有人曾根据逻辑方阵把直言判断中的这四种关系概括为几句口诀，即：“上不同真；下不同假；两边自上而下真必真，自下而上假必假；中间交叉分真假。”