二、常用数据处理方法

实验数据的科学处理是实验成败的一个关键环节，科学合理的处理分析数据能够帮助我们发现其内在规律，得出较为明确的实验结果。因此我们必须重视数据的科学处理方法。实验中的数据、记录、整理、计算、作图分析都必须具有条理性和严密的逻辑性。我们常用的数据处理方法一般有四种：列表法、作图法、逐差法和最小二乘法。正确合理的利用这些方法能够帮助我们分析得到数据关系，找到实验的规律，从而发现物理现象的内在本质。同时也能帮助我们分析总结实验操作中的经验，进而提高实验技能。

1.列表法

列表法就是将数据列成表格的形式来分析、处理数据的方法。实际上，在实验工作中，不仅进行数据处理时才列表，而在进行测量时，甚至在预习准备阶段，就应该对待测的数据准备记录用的表格。

在记录和处理数据时，将数据排列成表格形式，既可以有条不紊，又能简明醒目。可以简单而明确地表示出有关物理量之间的对应关系，便于随时检查和发现实验中的问题，并有助于找出有关物理量之间的规律。

用列表法处理数据时，应遵循下列原则。

①要求简单明了，便于看出有关量之间的关系，便于数据处理，必要时给出物理量之间的函数关系；

②表格须有名称，各栏目（纵或横）均应标明名称、单位，若名称用自定义的符号，则需加以说明。单位只写在标题栏中，不要重复地记在表中各数字的后面，但各数字应与所用单位相符合；

③表中的数据主要包括原始测量数据（从原始记录纸上整理过来）和一些重要的中间计算结果。有时也可以给出最后实验结果。所有数据都要正确反映测量结果的有效数字；

④若是存在函数关系的测量数据，则应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列。例如表1中半导体热敏电阻的电阻与温度的关系。

2.作图法

用作图法处理数据主要是利用所测的数据画出两个物理量的平面关系曲线，所用数据可以是直接测量的数据，也可以是经过一定的计算所得中间数据。作图法处理数据的作用有两个：一是用来直观而形象地对实验进行描述，即从图上便可看出测的量是什么物理量、所用仪器的精度、误差的大小、数据的分布特点、期望值以及变量间的函数关系等；二是利用所作的关系曲线进行有关的计算。作图法是广泛应用的实验数据处理基本方法，是实验课程中的重点训练内容。

（1）作图法的基本原则

a.选用恰当的坐标纸　作图一定要用铅笔、直尺等工具在坐标纸上完成，因为我们作图的目的不仅是定性地观察，还要进行定量的计算，求出有关结果。不用坐标纸，就不能保证结果的准确程度。一般用得较多的是直角坐标纸，其横、纵方向的画格线都是均匀的，最小画格间距的大小为1mm，在厘米格的格线较粗。除了直角坐标纸以外，还有对数坐标纸和半对数坐标纸，其画格线在两个方向或在一个方向上间距是不均匀的。我们现阶段实验作图都采用直角坐标纸，对于实验中出现的对数关系可以通过合适的转换后尽量采用直角坐标纸作图。下面介绍的是直角坐标纸的作图要领。

用直尺画出坐标轴，标出其正方向，横轴一般表示自变量，纵轴一般表示因变量。坐标纸的大小和坐标轴的比例选取要合适，原则上实验数据中的可靠数字在图中也应是可靠的，要使图线比较匀称地充满整个图纸，不要缩在一边或一角，同时也不能超出图纸范围。坐标轴最好与坐标纸的粗格线重合。

b.对坐标轴进行分度　标出各坐标轴的物理量符号、单位，在两轴线均匀标注出整分度。一般以两坐标轴交点为起点，在坐标轴上每间隔相等长度标注分度，即指出图纸上的每单位长度表示多少实际的物理量。坐标比例选择要恰当，例如可选取1:1、1:2、1:5、1:10等比例以方便作图，尽量避免选择1:3、1:7这类的比例。例如图纸上实际的1cm可表示实际电压1V、2V、10V等。

注意：坐标轴尽量不要标x、y，而是要根据实际的物理量的常用符号来标注；对于带有科学记数法的数据，可在坐标轴的箭头处带上×10ⁿ等；对于部分数据起点不为零的情况，应在两坐标轴交点处标明各自的起点值，无需从零开始标注，例如，动态法测金属杨氏模量实验中的共振频率起点即为几百赫兹，作图时可将略低于最低频率的某个整数频率值作为起点。

c.描坐标点　一般用符号“+”在图中标记相应的坐标点（当同一个图上有多条图线时，为了区别不同的关系曲线，或不同条件下测得的曲线，可分别采用“○”，“×”，“□”，“Δ”等符号），要使数据对应的坐标准确地落在符号的中心。符号的大小（如“+”的横、竖线的长度）应能大致反映出测量值的误差。如用米尺测量长度的数据，“+”画线的长度应为1mm左右。只用铅笔在图中点一个很小的黑点的做法是绝对错误的。实际操作中所描的点既不能太大也不能太小，描点的位置要准确。

d.曲线拟合　这是作图成败的一个关键，很多初学者都易犯错。首先我们要明确所做曲线的类型，认真观察点的分布特点；然后，以所描出的坐标点为基准，用直尺或曲线尺（板）画出平滑图线。画曲线时要注意几点：曲线要平滑，直线要直，要充分考虑曲线的走势。切忌依次用直线连接成折线；所画线的宽度不能超出所描点的直径；不可反复描画曲线；由于每一个点都存在误差，所以曲线不一定要通过所有的数据点，而是应尽可能地通过或接近大多数数据点，并使不在线上的数据点尽可能均匀对称地分布在曲线的两侧。有些点不在曲线上，是测量误差的表现，是正常现象。对于个别偏离过大（大于3S_x）的数据点应当舍去并进行分析或重新测量核对。

作图线分两种情况：一类为变量间有函数关系时，需画出连续、平滑的曲线；另一类为变量之间没有因果关系，图线可以是用直线逐点连接起来的折线，如我们熟知的股票走势图，某公司一年12个月的业绩走势图，它们都不存在函数关系，故可用直线依次连接。前一类是我们重点要研究的。

e.图名和图注　应在图的上方或下方标明图的名称，并在适当的空处工整地标注必要的实验条件和说明，例如注明所用不同的描点符号各代表的意义。必要时，在图中适当的地方写上作者的名字和作图日期。

（2）作图法的应用

利用所作的图线，定量地求得待测的物理量或得出经验方程，是作图法的一个重要用途，称此为图解法。求得经验公式的工作，要用到相关的理论知识，针对数据（图线）的变化趋势，根据理论进行推断，应用解析几何的知识，建立起经验公式的形式（如拟合多项式或指数函数式），求出经验公式中的待定常数，再用实验数据进行检验。这已超出本教材范围。此处仅重点讲述定量求待测物理量的值的问题。这时一般针对的图线为直线，主要任务是求直线的斜率和截距，对于不是直线关系的函数，可以用适当的方法将其化为直线关系。

下面以用伏安法测线性电阻为例来说明作图法的典型应用（见表2，图1）。

从图中选择直线与坐标格点相交、又相距较远的两点（A、B），它们的坐标分别为A（0.50，0.95），B（9.50，18.85），用两点法求出直线斜率为

则　　

对于函数关系为y=a+bx的直线方程，除了求直线的斜率以外，还要求截距。若坐标起点为零，则可将直线用虚线延长，得到与纵坐标轴的交点，即可求得截距a；若起点不为零，求截距的计算公式为

式中，（x₁，y₁）、（x₂，y₂）为直线上任意两点的坐标。当函数关系为非线性时，图像不是直线，而是曲线。此时，可以通过变量代换的方法化为新变量间的线性关系，即新变量间的关系为直线，称此方法为“曲线改直”或“曲线直化”例如：单摆的周期T与摆长L的关系在零级近似下为

　　 令 　　

得到新的关系式

L=mx

L与x之间的关系为线性的，分别用x和L为横、纵坐标得到的关系曲线即为一条直线。利用两点法求出直线的斜率m，即可求出重力加速度g

g=4π²m

3.逐差法

逐差法主要应用在测量数据为等间距变化的实验数据处理中。将数据按大小平均分为两组，求每两组相应位置的数据差，然后对全部差值取平均，可充分利用全部数据。

例1　在超声声速测量中，取得共振干涉法数据见表3。

即

ΔL=4.7278mm

若将相邻的两个量相减再求和，则只有首尾两数据被使用，其他数据均两两相消了，不能有效使用测量的所有数据。

4.最小二乘法（线性拟合）

此方法又叫一元线性回归，是一种以最小二乘法为基础的实验数据处理方法，仅针对两变量满足线性关系时处理的。其基本原理是：对于一条最佳的拟合直线，其上各点的值与测量值之差的平方和，在所有的拟合直线中应该是最小的。

假设两变量x，y之间满足线性关系

y=a+bx　　（1）

并设自变量x在测量中误差极小可以忽略，只考虑函数y的误差。对于一组测量值（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），可以定义一个函数

　　 （2） 　　

对于最佳的拟合直线（正确的待定系数a和b），Q应取极小值。按照函数取极小值的条件，应有

　　 （3） 　　

　　 （4） 　　

由式（4）得到一个关于a和b的二元一次方程组

　　 （5） 　　

注意现在的方程组中，x_i，y_i均为已知常数，而a和b是未知数。解此方程组，求得

　　 （6） 　　

其中　　 　　 （7）

都是在解方程组过程中整理归纳出的结果。可以证明，求出的a、b可以保证式（4）成立。

例2　利用最小二乘法处理伏安法测线性电阻的实验数据。实验的原始数据记录如表2所示。注意在伏安法中，选用的自变量为电压U、I为函数。所以对应于最小二乘法的函数关系应为

I=bU

由表2中的数据（去除原点）求出

代入式（6）的第一式中，求得

电阻 　　

值得说明的一点是：用伏安法测电阻，因电流表和电压表有内阻而使测量结果带有系统误差，必要时，应对结果进行修正，这时要知道电表的内阻，具体做法在相应的实验中再详细描述。