第二节　余弦变换原理

余弦变换是从傅里叶变换演化而来的一种正交变换。离散形式的余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）在图像压缩、编码中得到了广泛应用。

1.连续实偶函数的傅里叶变换

从有关傅里叶变换的讨论中可以推论，如果对实偶函数进行傅里叶变换，则傅里叶变换的结果将只包含余弦项（实函数项）。由此，可以将函数进行延拓，使其变为偶函数，再对其进行频域变换，可以达到相关的目标。

假设连续函数f1（t1）在t1∈[0，+∞）上有定义，按函数轴对称，将其延拓出f2（t2），且t2∈（-∞，0]，f1（t1）和f2（t2）构成偶函数f（t），t∈（-∞，∞）。按式（5-2）的定义，有

由偶函数的对称性进行变量替换，可以消去虚部，得到

可见，函数经延拓后进行的傅里叶变换只包含余弦形式的实函数部分。

2.离散余弦变换

若将一维函数f1（t1）表示为离散序列：

f1（0），f1（1），…，f1（N-1），t1=0，1，2，…，N-1

与其对称的函数为

f2（t2），f2（t2）=f1（-t1-1），t2=-1，-2，…，-N

将两个函数组成一个离散序列f（t），共包含2N个数据：f1（-N），…，f1（-1），f1（0），…，f1（N-1），且t=-N，…，-1，0，1，2，…，N-1。离散序列f（t）是关于t1=1/2对称的序列，取此对称点的傅里叶变换，得到

由上式得

归一化的离散余弦变换式如下。

正变换：

　　（5-10）

反变换：

　　（5-11）

其中：

在二维情况下，空间离散图像由MN个像素组成，其余弦变换表示为

正变换：

　　（5-12）

反变换：

　　（5-13）

式中，

图5-5（a）和（b）分别给出了对图5-3（a）和图5-4（a）进行离散余弦变换的结果。图中较暗的颜色代表频谱函数值较高，反之，较明亮的颜色则代表函数值较低。从图中可见，在中频及部分高频区域内，图5-3（a）的频谱值明显高于图5-4（a）；图5-4（a）仅在低频区域内具有较高的数值。由此可知图5-3（a）的高频成分（细节）较丰富，而图5-4（a）的低频成分（渐变色）较强。

作为一种重要的分析手段，对一维或二维信号进行频率域的变换得到了广泛的应用。在图像数据压缩和编码方面，利用DCT将图像表示成频率域数据，然后根据压缩以及图像品质的需求，忽略一部分高频数据，可以使图像数据量减小，达到压缩的目的，这种方法在JPEG图像文件格式中得到应用。