4.1 解决几何变换的一般思路

图像几何变换又称为图像空间变换，它将一幅图像中的坐标位置映射到另一幅图像中的新坐标位置。我们学习几何变换的关键就是要确定这种空间映射关系，以及映射过程中的变换参数。

几何变换不改变图像的像素值，只是在图像平面上进行像素的重新安排。一个几何变换需要两部分运算：首先是空间变换所需的运算，如平移、旋转和镜像等，需要用它来表示输出图像与输入图像之间的（像素）映射关系；此外，还需要使用灰度插值算法，因为按照这种变换关系进行计算，输出图像的像素可能被映射到输入图像的非整数坐标上。

设原图像 f(x0,y0)经过几何变换产生的目标图像为 g(x1,y1)，则该空间变换（映射）关系可表示为

其中，s(x0,y0)和 t(x0,y0)为由 f(x0,y0)到g(x1,y1)的坐标变换函数。例如，当x1= s(x0,y0)= 2x0，y1= t(x0,y0)=2y0时，变换后的图像 g(x1,y1)只是简单地在 x和 y两个空间方向上将 f(x0,y0)的尺寸放大一倍。因此，我们看到只要掌握了有关变换函数s(x0,y0)和t(x0,y0)的情况，就可以遵循下面的步骤实现几何变换。

算法4.1

根据空间变换的映射关系，确定变换后目标图像的大小（行、列范围）；//有些变换可能改变图像大小

计算逆变换s−1 ( j1,i1)和t−1 ( j1,i1)；

逐行扫描目标图像g(x1,y1)，对于g(x1,y1)中的每一点(j0,i0)：

{

             根据空间变换的映射关系，计算得：

             j0'= s−1 ( j1,i1); //直接通过映射关系计算得到的横坐标，可能不是整数

             i0'= t−1 ( j1,i1); //直接通过映射关系计算得到的纵坐标，可能不是整数

             根据选用的插值方法：

             (j0,i0) = interp(j0’, i0’ ); //对于非整数坐标（j0’, i0’）需要插值

           If (j0,i0) 在图像f之内

                拷贝对应像素：g(j1,i1) = f(j0,i0)；

           Else

                g(j1,i1) = 255;

}

对于几何失真图像的复原（校正）过程正好是上述变换的逆过程。

式 4-3和式4-4表示相应的由 g(x1,y1)到 f(x0,y0)的逆变换。此时，经过某种几何变换而失真的图像 g(x1,y1)是我们要复原的对象，原始图像 f(x0,y0)是我们复原的目标。

对服务于识别的图像处理而言，作为图像几何归一化的逆变换过程的应用常常更为广泛。当然，在变换中究竟以谁作为原始图像 f(x0,y0)，以谁作为变换图像g(x1,y1)并不是绝对的，这完全取决于我们在分析特定问题过程中的立场。比如说对于图4.1中的两幅图像，一般的做法是以图4.1（a）为原始图像，图4.1（b）为变换图像。这是因为在图4.1（a）中我们关心的对象（数字和字母）处于一个便于观察的角度（正的）。但我们也完全可以将图 4.1（b）视为 f(x0,y0)，而图 4.1（a）为g(x1,y1)。此时，相应的映射关系s和t也会发生变化。

注意

当图像归一化（参见3.7节）用于消除几何因素（视角、方位等）造成的图像外观变化时，称为（图像）几何归一化，它能够排除对象间几何关系的差别，找出图像中的那些几何不变量，从而得知这些对象原本就是一样的或属于相同的类别。