1.3 测量误差及其分类

1.3.1 测量误差及其表示方法

在一定条件下被测物理量客观存在的实际值，称为真值。真值是一个理想的概念。在实际测量时，实验方法和实验设备的不完善、周围环境的影响及人们辨识能力所限等因素，使得测量值与其真值之间不可避免地存在着差异。测量值与真值之间的差值称为测量误差。

测量误差可用绝对误差表示，也可用相对误差和引用误差表示。

1. 绝对误差

绝对误差Δx是指测量值x与真值L0之间的差值，即

由于真值L0的不可知性，所以在实际应用时，常用实际真值L代替，即用被测量多次测量的平均值或上一级标准仪器测得的示值作为实际真值L，故有

绝对误差是一个有符号、大小、量纲的物理量，它只表示测量值与真值之间的偏离程度和方向，而不能说明测量质量的好坏。

在实际测量中，还经常用到修正值c。所谓“修正值”是指与绝对误差数值相等但符号相反的数值，即c=-Δx=L-x。修正值给出的方式可能是具体的数值、一条曲线、公式或数表，将测量值与修正值相加就可以得到实际真值。

2. 相对误差

相对误差常用百分比的形式来表示，一般多取正值。相对误差可分为实际相对误差、示值（标称）相对误差和最大引用（相对）误差等。

（1）实际相对误差γ：用测量值的绝对误差Δx与其实际真值L的百分比来表示的相对误差，即

（2）示值（标称）相对误差γx：用测量值的绝对误差Δx与测量值x的百分比来表示的相对误差，即

在检测技术中，由于相对误差能够反映出测量技术水平的高低，因此更具有实用性。例如，测量两地距离为1000km的路程时，若测量结果为1001km，则测量结果的绝对误差是1km，示值相对误差为1‰；如果把100m长的一匹布量成101m，尽管绝对误差只有1m，与前者1km相比小很多，但1%的示值相对误差却比前者1‰大得多，这说明后者测量水平较低。

（3）引用（相对）误差：测量值的绝对误差Δx与仪器的量程Am的百分比。引用误差的最大值叫做最大引用（相对）误差γm，即

由于式（1.5）中的分子、分母都由仪表本身所决定，所以在测量仪表中，人们经常使用最大引用误差评价仪表的性能。最大引用误差又称为满度（引用）相对误差，是仪表基本误差的主要形式，故也常称之为仪表的基本误差，它是仪表的主要质量指标。基本误差去掉百分号（%）后的数值定义为仪表的精度等级。精度等级规定取一系列标准值，通常用阿拉伯数字标在仪表的刻度盘上，等级数字外有一圆圈。我国目前规定的精度等级有0.005、0.01、0.02、0.04、0.05、0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、4.0、5.0等。精度等级数值越小，测量的精确度越高，仪表的价格越贵。

由于仪表都有一定的精度等级，因此其刻度盘的分格值不应小于仪表的允许误差（绝对误差）值，小于允许误差值的分度是没有意义的。

在正常工作条件下使用时，工业上常用的各等级仪表的基本误差不超过表1.1所规定的值。

【例1.1】 某温度计的量程范围为0～500℃，校验时其最大绝对误差为6℃，试确定该仪表的精度等级。

解：根据题意知|Δx|m=6℃，Am=500℃，代入式（1.5）中：

从表1.1中可知，该温度计的基本误差介于1.0%～1.5%，因此该表的精度等级应定为1.5级。

【例1.2】 现有0.5级的0～300℃和1.0级的0～100℃的两个温度计，欲测量80℃的温度，试问选用哪一个温度计好？为什么？

解：0.5级温度计测量时可能出现的最大绝对误差、测量80℃温度时可能出现的最大示值相对误差分别为

|Δx|m1=γm1Am1=0.5%×（300-0）=1.5

1.0级温度计测量时可能出现的最大绝对误差、测量80℃温度时可能出现的最大示值相对误差分别为

|Δx|m2=γm2Am2=1.0%×（100-0）=1

计算结果γx2＞γx1，显然用1.0级温度计比用0.5级温度计测量时，示值相对误差反而小。因此在选用仪表时，不能单纯追求高精度，而是应兼顾精度等级和量程，最好使测量值落在仪表满度值的2/3以上的区域内。

1.3.2 测量误差的分类

在测量过程中，由于被测量千差万别，影响测量工作的因素非常多，使得测量误差的表现形式也多种多样，因此测量误差有不同的分类方法。

1. 按误差表现的规律划分

（1）系统误差。对同一被测量进行多次重复测量时，若误差固定不变或者按照一定规律变化，则这种误差称为系统误差。

系统误差主要是由测量系统本身不完备或者环境条件的变迁造成的。例如，所使用仪器仪表的误差、测量方法的不完善、各种环境因素的波动，以及测量者个体差异等。

系统误差反映了测量值偏离真值的程度，可用“正确度”一词表征。

系统误差是有规律性的。按其表现的特点可分为固定不变的恒值系差和遵循一定规律变化的变值系差。系统误差一般可通过实验或分析的方法，查明其变化的规律及产生的原因，因此它是可以预测的，也是可以消除的。

（2）随机误差。对同一被测量进行多次重复测量时，若误差的大小随机变化、不可预知，则这种误差称为随机误差。

随机误差是由很多复杂因素的微小变化引起的，尽管这些不可控微小因素中的一项对测量值的影响甚微，但这些因素的综合作用造成了各次测量值的差异。

随机误差反映了测量结果的“精密度”，即各个测量值之间相互接近的程度。

对随机误差的某个单值来说，是没有规律、不可预料的，但从多次测量的总体上看，随机误差又服从一定的统计规律，大多数服从正态分布规律，即

式中，Δx=x-L为测量值的绝对误差；σ为分布函数的标准误差。图1.1示出了相应的正态分布曲线。因此可以用概率论和数理统计的方法，从理论上估计其对测量结果的影响。

测量结果符合正态分布曲线的例子非常多，例如，某校男生身高的分布、交流电源电压的波动等。由式（1.6）和图1.1不难看出，具有正态分布的随机误差具有以下4个特征。

① 对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等。

② 单峰性：绝对值越小的误差在测量中出现的概率越大。

③ 有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限。

④ 抵偿性：在相同的测量条件下，当测量次数增加时，随机误差的算术平均值趋向于零。

应该指出，在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的，而且两者之间并不存在绝对的界限。

（3）粗大误差。测量结果明显地偏离其实际值所对应的误差，称为粗大误差或疏忽误差，又称为过失误差。含有粗大误差的测量值称为坏值。

产生粗大误差的原因有操作者的失误、使用有缺陷的仪器、实验条件的突变等。

正确的测量结果中不应包含粗大误差。实际测量时必须根据一定的准则判断测量结果中是否包含有坏值，并在数据记录中将所有的坏值都予以剔除。同时还可采取提高操作人员的工作责任心，以及对测量仪器进行经常性的检查、维护、校验和修理等方法，减少或消除粗大误差。

（4）缓变误差。数值随时间而缓慢变化的误差称为缓变误差。

缓变误差主要是由测量仪表零件的老化、失效、变形等原因造成的。这种误差在短时间内不易察觉，但在较长的时间后会显露出来。

通常采用定期校验的方法及时修正缓变误差。

2. 按被测量与时间关系划分

（1）静态误差。被测量稳定不变时所产生的测量误差称为静态误差。

（2）动态误差。被测量随时间迅速变化时，系统的输出量在时间上跟不上输入的变化，这时所产生的误差称为动态误差。例如，用水银温度计插入100℃沸水中，水银柱不可能立即上升到100℃，此时读数必然产生动态误差。

此外，按测量仪表的使用条件分类，可将误差分为基本误差和附加误差；按测量技能和手段分类，误差又可分为工具误差和方法误差。